Решение разностных уравнений




Скачать 41.48 Kb.
НазваниеРешение разностных уравнений
Дата публикации11.06.2013
Размер41.48 Kb.
ТипРешение
vbibl.ru > Математика > Решение
21. Разностные схемы для уравнений параболического типа (уравнение теплопроводности). Аппроксимация, устойчивость и сходимость. Явные и неявные схемы.
Внимание: все производные в тексте следует считать ЧАСТНЫМИ.

Рассмотрим одномерное уравнение теплопроводности (точнее уравнения конвективного теплообмена) для пластины с внутренним источником теплоты.

, 0 < x < L, 0 < t < tmax

где  - теплопроводность,  - плотность, с - теплоемкость.

На границах пластины заданы граничные условия третьего рода:



где  -- коэффициент теплоотдачи на границе. А начальное условие имеет вид



Итак: - модельное уравнение теплопроводности. Второй член называется конвективным, третий – релаксационным. Q – источник.
При использовании численных методов ставится следующая задача: в пространственной области выбирается некоторое конечное число значений координаты x­1, x2, ..., xN (узлы пространственной сетки), для временной переменной также выбирается конечное число значений t0,t1, ..., tJ. Цель – определение значений температуры в узлах пространственной сетки xn в моменты времени tj. Для упрощения будем считать пространственное и временное разбиения равномерными с шагами x и t.

Теперь необходимо дискретизировать имеющееся дифференциальное уравнение. Выбор различных разностных схем (схем разностной аппроксимации производных) приводит к различным результатам.

(схема по потоку); (схема против потока); (центральная схема).
Разностный шаблон – совокупность узлов, используемых в разностной схеме.

Этапы нахождения решения:

  1. Дискретизация расчетной области.

  2. Конечно-разностная аппроксимация уравнений.

  3. Конечно-разностная аппроксимация дополнительных (т.е. начальных или граничных) условий.

  4. Решение разностных уравнений.

В результате дискретизации получаем алгебраическую систему уравнений для значений искомой функции в узлах.
^ Аппроксимация, сходимость, устойчивость.

Заметим, что исходная задача имеет вид LU=f, где L - линейный дифференциальный оператор, f - известная функция, U - искомая. Заменяем его на LhVh=fh Lh линейный разностный оператор, fh – значения функции f в узлах. Сравниваем исходную и новую задачу. Подставляем точное решение в разностный оператор.



Uh – погрешность решения.

fh невязка.

Если неравенство верно при достаточно малых x, то говорят, что разностная задача аппроксимирует дифференциальную с порядком .

Если , то говорят, что разностное решение сходится к точному.

Связь между аппроксимацией и сходимостью дается понятием устойчивости. Устойчивость – непрерывная зависимость решения от исходных данных (в нашем случае исходные данные – это функция f). Мы будем называть устойчивостью выполнение соотношения . Таким образом, аппроксимация и устойчивость обеспечивают сходимость Cd=CsCa.

NB. Связь имеет асимптотический характер. На практике повышение порядка аппроксимации может и не приводить к увеличению точности.
^ Явная и неявная схема.

-- явная схема.

-- неявная схема.

Возможны параметризованные схемы:

-- частично неявная схема

При = 1/2 это будет схема Кранка-Николсона: .

Ее часто представляют в виде 2-х шаговой:

В отличие от явной и неявной схем схема Кранка-Николсона имеет второй порядок точности.
^ Анализ устойчивости

Рассмотрим уравнение конвективного переноса (гиперболическое). Заменим уравнение явной схемой с разностью вперед по времени и левосторонней разностью по пространству: ;

Введем обозначение . Здесь Sh сеточное число Струхала. Тогда

Рассмотрим, как изменяются исходные значения температуры. ;

При S = 1 имеем точное решение, фронт переносится вправо. При 0 < S < 1 вместе с переносом происходит релаксация. При S > 1 происходит неограниченное нарастание амплитуды (это в частности видно из наличия члена в формуле для . Таким образом случай S > 1 не является устойчивым. и устойчивости можно добиться выбором маленького шага по времени.

Проведя аналогичное исследование для схемы с правосторонней разностью по пространству получим, что эта разностная схема абсолютно неустойчива. Неявные схемы абсолютно устойчивы, то есть не требуется выбирать очень маленький шаг по времени. Но при выборе шага не следует забывать, что при большом шаге происходит большая релаксация фронта возмущения и потеря точности.

Разностные схемы для уравнения диффузии: (стационарное уравнение теплопроводности).

Явная схема: . Тогда . сеточное число Рейнольдса.

Критерий устойчивости такой схемы: или . Неявная схема и в этом случае будет абсолютно устойчивой. При использовании неявной схемы для каждого слоя по времени необходимо решать систему линейных уравнений, но, поскольку матрица этой системы трехдиагональная, для ее решения можно применить метод прогонки.

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Решение разностных уравнений iconУрок по алгебре в 8 а классе «Решение квадратных уравнений по формуле»
«Решение квадратных уравнений». Вы уже достаточно знаете и умеете по этой теме, поэтому наша с вами задача: обобщить и сложить в...

Решение разностных уравнений iconУрок алгебры в 7 классе. Тема: Решение линейных уравнений
Образовательная цель: углубить, расширить и обобщить сведения о линейных уравнениях и выражениях, умения по решению уравнений

Решение разностных уравнений icon1. Повторение (6часов)
Преобразование целых выражений. Системы линейных уравнений. Решение уравнений и задач. Признаки равенства треугольников. Соотношение...

Решение разностных уравнений iconПрезентация по теме «Решение квадратных уравнений по формуле»
Учить применять формулы для нахождения дискриминанта и корней квадратного уравнения, формировать навыки решения квадратных уравнений...

Решение разностных уравнений iconРешение уравнений с помощью условия равенства одноимённых тригонометрических функций 7

Решение разностных уравнений iconТема и содержание занятия
Уравнения. Основные методы решения уравнений. Понятие уравнения. Алгебраические уравнения. Равносильность уравнений. Методы решения...

Решение разностных уравнений icon7. Системы эконометрических уравнений Виды систем регрессионных уравнений
Любая экономическая система – это сложная система с множеством входов, выходов и сложной структурой взаимосвязей показателей, характеризующих...

Решение разностных уравнений iconДана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется...
Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется найти ее решение: а с помощью формул Крамера; б методом обратной...

Решение разностных уравнений iconТематическое планирование. Алгебра 9 класс
Решение уравнений третьей степени с одним неизвестным с помощью разложения на множители

Решение разностных уравнений iconМетод прогонки
...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
vbibl.ru
Главная страница