Курсовая работа




НазваниеКурсовая работа
страница1/5
Дата публикации08.05.2013
Размер0.54 Mb.
ТипКурсовая
vbibl.ru > Математика > Курсовая
  1   2   3   4   5
Московский Государственный педагогический Университет

им. В.И.Ленина


Комплексные числа в планиметрии

(Курсовая работа)

Подготовила: студентка III курса

Маематического факультета

Ильичёва Мария В.

Научный руководитель: доцент

Иванов Иван И.


Москва, 2000

Содержание


Введение……………………………………………………………………….3

  1. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Длина отрезка…….4

  2. Параллельность и перпендикулярность. Коллинеарность трех точек……8

  3. Углы и площади. Критерий принадлежности четырех точек одной окружности…………………………………………………………………..14

  4. Подобные и равные треугольники. Правильный треугольник…………...18

  5. Прямая и окружность на плоскости комплексных чисел…………………22

  6. Две прямые. Расстояние от точки до прямой………………………………24

Заключение…………………………………………………………………...30

Список использованной литературы……………………………..………....31

Введение
Большое значение комплексных чисел в математике и ее приложениях широко известно. Особенно часто применяются функции комплексного переменного. Их изучение имеет самостоятельный интерес. Вместе с тем алгебру комплексных чисел можно успешно использовать в элементарной геометрии, тригонометрии, теории геометрических преобразований, а также в электротехнике и различных задачах с механическим и физическим со­держанием.

Метод комплексных чисел позволяет решать планиметрические задачи по готовым формулам прямым вычислением, элементарными выкладками. Выбор этих формул с очевидностью диктуется условиями задачи и ее тре­бованием. В этом состоит необычайная простота этого метода по сравнению с координатным, векторным и другими методами, требующими от решающе­го порой немалой сообразительности, длительных поисков, хотя готовое ре­шение может быть очень коротким.

В данной работе излагаются основы метода комплексных чисел в при­менении к задачам элементарной геометрии на плоскости и доказательству некоторых основных планиметрических теорем.

Конечно, одна работа не может вместить все существующие теоремы и задачи. Здесь будут рассмотрены лишь некоторые темы, по каждой из которых будет решен ряд задач, наиболее наглядно показывающих простоту этого метода.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Длина отрезка
При заданной прямоугольной декартовой системе координат на плоскос­ти комплексному числу z = x+iy (i2= -1) можно взаимно однозначно по­ставить в соответствие точку М плоскости с координатами х, у (рис.1):

.




Число z тогда называют комплексной координатой точки М.

Поскольку множество точек евклидовой плоскости находится во взаим­но однозначном соответствии с множеством комплексных чисел, то эту плос­кость называют также плоскостью комплексных чисел. Начало О декартовой системы координат называют при этом начальной или нулевой точкой пло­скости комплексных чисел.

При у=0 число z действительное. Действительные числа изображаются точками оси х, поэтому она называется действительной осью. При х=0 число z чисто мнимое: z=iy. Мнимые числа изображаются точками оси у, поэтому она называется мнимой осью. Нуль - одновременно действительное и чисто мнимое число.

Paccтoяниe от начала ^ О плоскости до точки М(z) называется модулем комплексного числа z и обозначает­ся |z| или r:

|z| = r = |OM| = .

Если ориентированный угол, образованный вектором с осью х, то по определению функции синуса и косинуса



откуда и поэтому .

Такое представление комплексного числа z называется его тригонометри­ческой формой. Исходное представление z=x+iy называют алгебраичес­кой формой этого числа. При тригонометрическом представлении угол называют аргументом комплексного числа и обозначают еще через arg z:
.
Если дано комплексное число z=x+iy, то число называется комплексно-сопряженным (или просто сопряженным) этому числу z. Тогда, очевидно, и число z сопряжено числу . Точки М(z) и симметричны относительно оси х (рис.2).

Из равенства следует y=0 и обратно. Это значит, что число, рав­ное своему сопряженному, является действительным и обратно.

Точки с комплексными координатами z и -z симметричны относитель­но начальной точки О. Точки с комплексными координатами z и сим­метричны относительно оси у. Из равенства z= вытекает x=0 и об­ратно. Поэтому условие z= является критерием чисто мнимого числа.

Для любого числа z, очевидно, |z| = || = |-z| = ||.

Сумма и произведение двух сопряженных комплексных чисел являются действительными числами: .

Число, сопряженное с суммой, произведением или же частным комплекс­ных чисел, есть соответственно сумма, произведение или же частное чисел, сопряженных данным комплексным числам:



Эти равенства можно легко проверить, пользуясь формулами для опе­раций над комплексными числами.

Каждой точке М(z) плоскости - взаимно однозначно соответствует век­тор . Поэтому комплексные числа можно интерпретировать векторами, приложенными к точке O. Сложению и вычитанию комплексных чисел отвечает сложение и вычитание соответствующих им векторов. Именно если а и b - комплексные координаты точек A и В соответственно, то число с=а+b является координатой точки С, такой, что (рис.3). Комплексному числу d=a-b соответствует такая точка D, что .

Расстояние между точками А и В равно :

|АВ| = |а-b|. (1)

Так как |z|2= z, то

|AB|2=(a-b)(). (2)

Уравнение z= r2 определяет окружность с центром О радиуса r. Отношение , в котором точка С делит данный отрезок АВ, выражается через комплексные координаты этих точек так:



откуда (3)

Если положить и , то

(4)

Условия (4) необходимы и достаточны для того, чтобы точки А, В, С были коллинеарны.

При точка ^ С является серединой отрезка AB, и обратно.

Тогда:

c = . (4a)
Пусть имеем параллелограмм ABCD. Его центр имеет комплексную координату = при условии, что точки А, В, С, D имеют соответственно комплексные координаты а, b, с, d. Если не исключать случай вырождения параллелограмма, когда все его вершины оказываются на одной прямой, то равенство

a+c = b+d (5)
является необходимым и достаточным условием того, чтобы четырехуголь­ник ^ ABCD был параллелограммом.
Задача 1. Точки М и N — середины диагоналей АС и BD четырех­угольника ABCD. (Рис.1)

Доказать, что |AB|2+|BC|2+|CD|2+|DA|2 = |AC|2+|BD|2+4|MN|2.

Решение. Пусть точкам A, В, С, D, М, N соответствуют комплексные числа а, b, с, d, т, п.

Так как m = и n = , то

|AB|2+|BC|2+|CD|2+|DA|2



|AC|2+|BD|2+4|MN|2

.

Равенство доказано.
Задача 2. Доказать, что если в плоскости параллелограмма ABCD существует такая точка М, что |MA|2+|MC|2=|MB|2+|MD|2, тo ABCD - прямоугольник. (Рис.2)
  1   2   3   4   5

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Курсовая работа iconКурсовая работа Анализ прибыли ао «Саранский хлебокомбинат»
Данная курсовая работа содержит 38 страниц, 9 таблиц, 23 формулы, 30 источников

Курсовая работа iconКурсовая работа по дисциплине «Информатика» на тему «Классификация,...
...

Курсовая работа iconКурсовая работа по педагогике «Мотивы познавательной деятельности...
Курсовая работа по педагогике «Поликультурное воспитание учащихся старшего школьного возраста»

Курсовая работа iconКурсовая работа должна отвечать следующим 
Курсовая работа — самостоятельная разработка конкретной темы с элементами научного анализа, отражающая приобретенные студентом теоретические...

Курсовая работа iconКурсовая работа по учебной дисциплине: «Информатика» на тему: «Устройства...
Данная курсовая работа посвящена рассмотрению такого важного и актуального в настоящее время аспекта современной жизни общества,...

Курсовая работа iconКурсовая работа по дисциплине: «Бухгалтерский финансовый учет» на...
Данная курсовая работа призвана осветить все аспекты такого раздела бухгалтерского учета как «Оплата труда»

Курсовая работа iconКурсовая работа
И овладения слушателями определенной медиа-специальностью в сфере деловой и политической журналистики. Являясь небольшой учебной...

Курсовая работа iconКурсовая работа по дисциплине «Информатика» на тему «Обмен данными в ms office»
Курсовая работа «Обмен данными в ms office» содержит 27 страниц печатного текста, 4 рисунка, 5 таблиц, использовано 5 источников

Курсовая работа icon«Организация эвм» Контрольно курсовая работа «Проектирование вычислительной системы»
Данная контрольно-курсовая работа выполняется с целью закрепления знаний по курсу «Организация ЭВМ и систем» и получения практических...

Курсовая работа iconКурсовая работа должна являться завершающим этапом изучения блока...
Курсовая работа позволяет студентам расширить круг дополнительно привлекаемой информации по выбранной теме, а также изучить те разделы...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
vbibl.ru
Главная страница