Курсовая работа
Скачать 0.54 Mb.
|
                                              Московский Государственный педагогический Университетим. В.И.Ленина Комплексные числа в планиметрии (Курсовая работа) Подготовила: студентка III курса Маематического факультета Ильичёва Мария В. Научный руководитель: доцент Иванов Иван И. Москва, 2000 Содержание Введение……………………………………………………………………….3
Заключение…………………………………………………………………...30 Список использованной литературы……………………………..………....31 Введение Большое значение комплексных чисел в математике и ее приложениях широко известно. Особенно часто применяются функции комплексного переменного. Их изучение имеет самостоятельный интерес. Вместе с тем алгебру комплексных чисел можно успешно использовать в элементарной геометрии, тригонометрии, теории геометрических преобразований, а также в электротехнике и различных задачах с механическим и физическим содержанием. Метод комплексных чисел позволяет решать планиметрические задачи по готовым формулам прямым вычислением, элементарными выкладками. Выбор этих формул с очевидностью диктуется условиями задачи и ее требованием. В этом состоит необычайная простота этого метода по сравнению с координатным, векторным и другими методами, требующими от решающего порой немалой сообразительности, длительных поисков, хотя готовое решение может быть очень коротким. В данной работе излагаются основы метода комплексных чисел в применении к задачам элементарной геометрии на плоскости и доказательству некоторых основных планиметрических теорем. Конечно, одна работа не может вместить все существующие теоремы и задачи. Здесь будут рассмотрены лишь некоторые темы, по каждой из которых будет решен ряд задач, наиболее наглядно показывающих простоту этого метода. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Длина отрезка При заданной прямоугольной декартовой системе координат на плоскости комплексному числу z = x+iy (i2= -1) можно взаимно однозначно поставить в соответствие точку М плоскости с координатами х, у (рис.1):  . Число z тогда называют комплексной координатой точки М. Поскольку множество точек евклидовой плоскости находится во взаимно однозначном соответствии с множеством комплексных чисел, то эту плоскость называют также плоскостью комплексных чисел. Начало О декартовой системы координат называют при этом начальной или нулевой точкой плоскости комплексных чисел. При у=0 число z действительное. Действительные числа изображаются точками оси х, поэтому она называется действительной осью. При х=0 число z чисто мнимое: z=iy. Мнимые числа изображаются точками оси у, поэтому она называется мнимой осью. Нуль - одновременно действительное и чисто мнимое число. Paccтoяниe от начала ^ плоскости до точки М(z) называется модулем комплексного числа z и обозначается |z| или r: |z| = r = |OM| =  .Если  — ориентированный угол, образованный вектором  с осью х, то по определению функции синуса и косинуса  откуда  и поэтому  .Такое представление комплексного числа z называется его тригонометрической формой. Исходное представление z=x+iy называют алгебраической формой этого числа. При тригонометрическом представлении угол называют аргументом комплексного числа и обозначают еще через arg z: .Если дано комплексное число z=x+iy, то число  называется комплексно-сопряженным (или просто сопряженным) этому числу z. Тогда, очевидно, и число z сопряжено числу  . Точки М(z) и  симметричны относительно оси х (рис.2). Из равенства  следует y=0 и обратно. Это значит, что число, равное своему сопряженному, является действительным и обратно.   Точки с комплексными координатами z и -z симметричны относительно начальной точки О. Точки с комплексными координатами z и  симметричны относительно оси у. Из равенства z= вытекает x=0 и обратно. Поэтому условие z= является критерием чисто мнимого числа. Для любого числа z, очевидно, |z| = | | = |-z| = ||.Сумма и произведение двух сопряженных комплексных чисел являются действительными числами:  .Число, сопряженное с суммой, произведением или же частным комплексных чисел, есть соответственно сумма, произведение или же частное чисел, сопряженных данным комплексным числам:  Эти равенства можно легко проверить, пользуясь формулами для операций над комплексными числами. Каждой точке М(z) плоскости - взаимно однозначно соответствует вектор  . Поэтому комплексные числа можно интерпретировать векторами, приложенными к точке O. Сложению и вычитанию комплексных чисел отвечает сложение и вычитание соответствующих им векторов. Именно если а и b - комплексные координаты точек A и В соответственно, то число с=а+b является координатой точки С, такой, что  (рис.3). Комплексному числу d=a-b соответствует такая точка D, что  . Расстояние между точками А и В равно  :|АВ| = |а-b|. (1) Так как |z|2= z  , то |AB|2=(a-b)(  ). (2)Уравнение z = r2 определяет окружность с центром О радиуса r. Отношение  , в котором точка С делит данный отрезок АВ, выражается через комплексные координаты этих точек так: откуда  (3)Если положить  и  , то  (4) Условия (4) необходимы и достаточны для того, чтобы точки А, В, С были коллинеарны. При  точка ^ является серединой отрезка AB, и обратно. Тогда: c =  . (4a)Пусть имеем параллелограмм ABCD. Его центр имеет комплексную координату  =  при условии, что точки А, В, С, D имеют соответственно комплексные координаты а, b, с, d. Если не исключать случай вырождения параллелограмма, когда все его вершины оказываются на одной прямой, то равенствоa+c = b+d (5) является необходимым и достаточным условием того, чтобы четырехугольник ^ был параллелограммом. Задача 1. Точки М и N — середины диагоналей АС и BD четырехугольника ABCD. (Рис.1) Доказать, что |AB|2+|BC|2+|CD|2+|DA|2 = |AC|2+|BD|2+4|MN|2. Решение. Пусть точкам A, В, С, D, М, N соответствуют комплексные числа а, b, с, d, т, п. Так как m = и n = , то |AB|2+|BC|2+|CD|2+|DA|2   |AC|2+|BD|2+4|MN|2    .Равенство доказано. Задача 2. Доказать, что если в плоскости параллелограмма ABCD существует такая точка М, что |MA|2+|MC|2=|MB|2+|MD|2, тo ABCD - прямоугольник. (Рис.2) |
Добавить документ в свой блог или на сайт
Похожие:
 | Данная курсовая работа содержит 38 страниц, 9 таблиц, 23 формулы, 30 источников | | ... |
 | Курсовая работа по педагогике «Поликультурное воспитание учащихся старшего школьного возраста» | | Курсовая работа — самостоятельная разработка конкретной темы с элементами научного анализа, отражающая приобретенные студентом теоретические... |
| Данная курсовая работа посвящена рассмотрению такого важного и актуального в настоящее время аспекта современной жизни общества,... | | Данная курсовая работа призвана осветить все аспекты такого раздела бухгалтерского учета как «Оплата труда» |
| И овладения слушателями определенной медиа-специальностью в сфере деловой и политической журналистики. Являясь небольшой учебной... | | Курсовая работа «Обмен данными в ms office» содержит 27 страниц печатного текста, 4 рисунка, 5 таблиц, использовано 5 источников |
| Данная контрольно-курсовая работа выполняется с целью закрепления знаний по курсу «Организация ЭВМ и систем» и получения практических... | | Курсовая работа позволяет студентам расширить круг дополнительно привлекаемой информации по выбранной теме, а также изучить те разделы... |