Расширения полей. Формальное присоединение элементов




Скачать 201.07 Kb.
НазваниеРасширения полей. Формальное присоединение элементов
страница1/2
Дата публикации08.05.2013
Размер201.07 Kb.
ТипДокументы
vbibl.ru > Математика > Документы
  1   2

РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ. ФОРМАЛЬНОЕ ПРИСОЕДИНЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ


На прошлой лекции было показано, что исходное поле k можно расширить добавляя элементы из некоторого большего поля. В случае простого алгебраического расширения добавляется единственный элемент U, являющийся корнем некоторого неприводимого многочлена над k степени n. Это приводит к полю k(U), которое будет расширением степени n исходного поля k

Оказывается, что конструкцию присоединения можно провести “изнутри”, не выходя в большее поле K. Идея этого построения раскрывается в следующей теореме

Теорема. Пусть p k[x] - неприводимый многочлен над k, U - его корень в некотором большем поле K, (p) =pk[x] k[x] - главный идеал с образующим элементом p. Тогда k(U)   k[x]/(p)

Доказательство. Определим отображение :k[x]   k(U)   формулой (q)=q(U). Поскольку каждый элемент V k(U) может быть записан в виде многочлена от U,   сюръективно. По теореме о гомоморфизме k(U)   k[x]/Ker . Остается доказать, что Ker = (p). Если q=pd, то q(U)=p(U)d(U) = 0 и таким образом (p)   Ker . Обратно, если q(U) = 0 то поскольку p неприводим и p(U) = 0 , p | q и значит Ker   (p)

Следствие. Если   и   корни одного неприводимого над k многочлена, то поля k( ) и k( ) изоморфны, причем при этом изоморфизме каждый элемент поля k отображается на себя

Замечание. Поле F = k[x]/(p), для своего построения не требует знания большего поля K, в котором лежит корень   неприводимого многочлена p. Поле F содержит k. Рассмотрим естественный гомоморфизм t: k[x]   F и определим элемент U поля F равенством U= t(x). Тогда, очевидно, p(U) =0 . Теперь только что доказанная теорема позволяет утверждать, что F k(U). Такой способ присоединения новых элементов к полю   называется формальным. Отметим, что именно так было построено поле C комплексных чисел исходя из поля вещественных чисел R: мнимую единицу i мы присоединили, как корень (неприводимого над R) многочлена . Присоединение было формальным в вышеуказанном смысле, так как находясь в области вещественных чисел, мы не можем указать корень этого многочлена

Примеры

Пусть k = Q, U = . Тогда p= имеет корни U, U, U, где - кубический корень из 1. Согласно только что сформулированному следствию, поля k=k(U) и k=k( U) изоморфны, хотя они и состоят из элементов различной природы: все числа из поля k действительные, а для k это уже не так

Рассмотрим k = GF(2) и неприводимый многочлен p= +x+1 над этим полем. Нам неизвестно никакое большее поле K, в котором следует искать корни этого многочлена. В соответствии с только что доказанной теоремой рассмотрим поле K=k[x]/(p). Всякий его элемент можно записать в виде a+bU, где a , b GF(2), причем +U+1 = 0 . Поле K поэтому содержит 4 элемента: 0 = 0+0U; 1=1+0U; U =0+1U; V = 1+1U. Поле K является расширением поля GF(2) и потому имеет характеристику 2. С учетом этого обстоятельства его элементы складываются очевидным образом. Что касается умножения, то (как и во всяком поле) (a+bU)(c+dU) = ac+(ad+bc)U+bd и остается воспользоваться равенством =U+1. Например, U(U+1) = +U =1 так что элементы U и U+1 взаимно обратны. Поле K обозначается GF(4). В нем многочлен p имеет корень U.   Другим корнем p в том же поле будет V = U+1. Значит в поле GF(4) многочлен p раскладывается на множители первой степени: p = (x+U)(x+U+1)

Поле разложения многочлена

Пусть p k[x] произвольный многочлен степени n. Разложим его в произведение неприводимых многочленов: p = . Присоединяя к k корень многочлена p построим новое поле , в котором p = (x-a) , где многочлены неприводимы над . Теперь присоединим к корень многочлена и так далее. В результате не более чем через n шагов мы придем к полю K в котором многочлен p распадается, то есть раскладывается в произведение многочленов первой степени: p=

Определение

Построенное таким образом поле K называется полем разложения многочлена p. Это - наименьшее поле, содержащее k и все корни многочлена p: K = k( )

Примеры

У нас уже появлялись поля разложения. Так мы видели,что Q( ) -поле разложения многочлена Q[x], Q( ) - поле разложения многочлена Q[x], GF(4) - поле разложения GF(2)[x]

Построим поле разложения для p = Q[x]. Заметим, что поле =Q( ) таковым не является; в этом поле p = и второй множитель q   неприводим даже над R, поскольку его дискриминант меньше нуля. Поле разложения K получится, если мы присоединим к полю один из корней уравнения q(x) = 0, то есть величину , где - кубический корень из 1. Впрочем, поскольку , достаточно присоединить . Первое расширение имеет базис 1, , . Второе - 1, . По теореме о строении составного расширения,   базис K над Q составляют элементы: 1, , , , , и [K:Q] =6. Заметим, что   = K, хотя в отдельности ни i ни не входят в K

Замечание

Можно доказать ( мы этого делать не будем), что поле разложения данного многочлена определено однозначно с точностью до изоморфизма

Строение конечных полей

Теорема о количестве элементов конечного поля.      

Пусть K расширение конечного поля k степени n. Если k содержит q элементов, то K содержит   элементов

Доказательство

Пусть - базис расширения. Любой элемент поля K однозначно записывается в виде: , где k. Отсюда и вытекает наше утверждение

Следствие

Количество элементов конечного поля k   характеристики p равно . В самом деле, k GF(p)

Как нам известно, над полем GF(p) существуют неприводимые многочлены любой степени . Присоединяя ( формально) к GF(p) корень такого многочлена степени n, мы получим расширение K GF(p) степени n. Итак, имеем следующее утверждение

Теорема существования для конечных полей   

Для всякого натурального n и простого p существует конечное поле из   элементов

Рассмотрим теперь многочлен t = , где q =   над полем GF(p). Пусть K какое либо поле, содержащее все корни этого многочлена, так что в K . Отметим, что среди элементов нет одинаковых. В самом деле,   , так что ОНД(t, ) = 1 и t не имеет кратных корней

Теорема.   

Множество T = { } K является полем из q элементов

Доказательство. Надо проверить, что и   1. , Но . Значит,

2.

Следствие. Поле T из элементов является полем разложения многочлена   над GF(p)

Поскольку поле разложения многочлена определено однозначно с точностью до изоморфизма, мы вправе ввести для него специальное обозначение. Это поле называется полем Галуа   в честь французского математика Эвариста Галуа и обозначается GF( )

Пусть теперь K любое поле из   элементов. Как нам известно, группа K* - циклическая порядка q-1. Поэтому для любого , а потому   для всех без исключения элементов K. Таким образом всякий элемент x K удовлетворяет уравнению =0   и K GF(q). Поскольку они состоят из одинакового числа элементов, мы получаем:

Теорема. Любое конечное поле изоморфно GF( )

Следствие. Всякий неприводимый над GF(p) многочлен s степени n является делителем многочлена d =

В самом деле, присоединяя к GF(p) корень многочлена s, мы получаем поле из элементов. Следовательно, этот корень содержится в GF( ) и неприводимый многочлен s делит d

Отметим, что после этого присоединения получается поле разложения многочлена s

Следствие

Поле разложения любого неприводимого многочлена s степени n над GF(p) получается в результате присоединения одного единственного корня этого многочлена и изоморфно GF( ).   Многочлен s не имеет корней в полях GF( ) при l
Теорема о подполях конечных полей. Если k GF( ), то k GF( ),   причем m | n. Обратно, для всякого делителя m числа n в поле GF( ) существует единственное подполе из   элементов

Доказательство. Поскольку k имеет характеристику p оно состоит из q =   элементов. Поле GF( ) можно рассматривать как расширение степени l поля   k и, следовательно оно состоит из элементов, так что n = ml. Обратно, поскольку k GF( ), всякий его элемент удовлетворяет уравнению = x. Это уравнение имеет не более корней в поле GF( ), и значит если такое   подполе существует, его элементы определяются однозначно. Остается доказать, что при n = ml уравнение   = x имеет ровно корней в GF( ). Проверим, что . Обозначим и заметим, что число целое. Имеем: .Так как y =1 корень числителя, то деление выполняется нацело. Поскольку в поле GF( ) многочлен распадается, то же верно и для его делителя и потому этот многочлен имеет корней

Теорема о действии автоморфизма Фробениуса. Автоморфизм Фробениуса Ф:   циклически переставляет корни любого неприводимого многочлена степени n над GF(p)

Доказательство. Пусть s заданный многочлен и a один из его корней. Тогда Ф Достаточно проверить, что все элементы a, Ф(a), ...., Ф попарно различны. Допустим, что Ф (a)= Ф (a), то есть , где i
^ Расширения полей. Присоединение элементов большего поля

Если   k - подполе поля K, то говорят также, что K - расширение поля k. Отметим, что при расширении сохраняется характеристика поля. В самом деле, поле k характеристики 0 содержит подполе изоморфное Q - полю рациональных чисел, а поле k характеристики p>0 - подполе изоморфное полю GF(p) - вычетов по модулю p. По определению расширения большее поле K содержит те же подполя и, следовательно, имеет ту же характеристику

Напомним, что векторным пространством над полем k называется такое множество X (векторов), для которого определены операции сложения векторов и умножения вектора на элемент поля (скаляр) со следующими свойствами:

Относительно сложения векторы образуют абелеву группу

a(U+V) = aU+aV

(a+b)U = aU+bU

a(bU) = (ab)U

1U =U

Очевидно, что поле K можно рассматривать как векторное пространство над k: сложение векторов интепретируется как сложение элементов поля K, а умножение на скаляр как умножение в том же поле (ведь каждый скаляр из k в то же время является элементом K). Свойства 1 - 5 вытекают из определения поля. Таким образом, все известные нам результаты, относящиеся к векторным пространствам, применимы к случаю расширения полей. В частности, можно говорить о размерности K над k. Это число называется степенью расширения   и обозначается [K:k] . Если степень расширения конечна, то и само расширение называется конечным

Примеры

Поле С комплексных чисел является расширением поля R вещественных чисел. Так как каждое комплексное число однозначно записывается в виде a+bi, то числа 1 и i образуют базис С над R и значит [C:R] = 2

Рассмотрим поле R как расширение поля рациональных чисел Q. Покажем, что степень расширения бесконечна. Для этого достаточно для всякого n указать линейно независимую над Q систему   вещественных чисел. Положим , , ,..., . Пусть для некоторых рациональных   выполнено равенство: =0. Тогда многочлен с рациональными коэффициентами q =   имеет корень x= .Однако тот же корень имеет неприводимый многочлен , который, следовательно, делит многочлен q. Это возможно только в том случае, когда многочлен q нулевой, чем и доказано наше утверждение

Теорема о степени составного расширения

Пусть поле F является расширением поля k, а K - расширение F. Тогда степень расширения [K:k] находится по формуле: [K:k] = [K:F] [F:k]

Доказательство

Пусть   - базис K над F, а   - базис F над k.   Для всякого U K имеем: U = , где . Но, , где   . Значит, всякий элемент поля K записывается в виде линейной комбинации над k элементов в количестве nm штук. Остается проверить их линейную независимость. Если

=0, то поскольку линейно независимы над F, для всякого

i= 1,...,n имеем = 0. Но линейно независимы над k и потому все

Расширение посредством присоединения элементов.   

Пусть дано поле k и элементы , принадлежащие некоторому большему полю K. Наименьшее (по включению) подполе   поля K, содержащее поле k и все элементы   обозначается k( ) и называется расширением k посредством присоединения элементов . Если n=1, то расширение называется простым , а соответствующий элемент U называется порождающим элементом простого расширения

Примеры

Если все , то k( )=k

Если k=R, U=a+bi C, причем b 0, то простое расширение R(U) совпадает с С. В самом деле, R(U) содержит U и все вещественные числа. Но тогда i = 1/b(U-a) R(U), а значит и любое комплексное число p+qi R(U)

3. Поле Q( ) содержит множество X всех вещественных чисел, которые можно записать   в виде a+b , где a,b Q

Проверим, что X - поле и тем самым установим, что Q( ) =X. Напомним, что подмножество T поля k будет полем тогда и только тогда, когда

a) T содержит 0 и 1

b) Вместе с любыми двумя элементами t и s T содержит их разность t-s

c) Вместе с любыми двумя элементами t и s 0 T содержит их частное t/s

Условия a) и b) для X очевидно выполнены. Чтобы проверить c) надо ”уничтожить иррациональность” в знаменателе дроби (a+b )/(c+d ). Из элементарной алгебры известно, что для этого достаточно числитель и знаменатель умножить на c-d . Итак, [Q( ):Q]=2 и базис составляют элементы 1 и

4. Поле Q( ) содержит . Но тогда оно должно содержать также и , а значит и все числа вида a+b +c , где a,b,c Q. Отметим, что запись числа в такой форме однозначна поскольку мы уже убедились в линейной независимости чисел 1, , над Q. Чтобы доказать, что все элементы поля уже построены, надо как и в предыдущем примере уничтожить иррациональность в знаменателе дроби (a+b +c )/( d+e +f ). Это можно проделать, используя тождество: -3xyz= (x+y+z)(   -xy-xz-yz)=(x+y+z)S. Достаточно вэять x=d, y=e , z=f и домножить числитель и знаменатель на S. Следовательно, [Q( ) :Q]=3 и базис составляют элементы1, ,

Анализируя приведенные примеры, мы видим, что строение простого расширения существенно зависит от алгебраической природы порождающего элемента

В связи с этим дадим следующее определение. Пусть k K   и U K. Элемент U называется алгебраическим над k, если он является корнем полинома p k[x] положительной степени. В противном случае U называется трансцендентным элементом.   Если p(U)=0 и p=qr, то либо q(U)=0, либо r(U)=0, поэтому найдется такой неприводимый многочлен s k[x], что s(U)=0. Если еще потребовать, чтобы s был унитарным, то он будет определен однозначно. Это будет многочлен наименьшей степени, имеющий U своим корнем (минимальный многочлен алгебраического элемента U ). Степень минимального многочлена называется степенью числа U над полем k

Примеры

Любое комплексное число z является корнем квадратного уравнения над R:   =0. Таким образом все комплексные числа алгебраичны над R и степень их не превосходит 2

, - алгебраические элементы над Q.   Они являются корнями неприводимых уравнений -3=0 и -2=0 соответственно, так что их степени - 2 и 3

Можно доказать(весьма непросто!), что числа и е трансцендентны над полем Q

Строение простых алгебраических расширений

Теорема. Если U алгебраический над k элемент степени n, то [k(U):k]=n и в качестве базиса можно выбрать элементы 1, U,

Доказательство. Ясно, что U и все его степени входят в k(U). Пусть p k[x] - минимальный многочлен элемента U. Тогда = . Умножая обе части этого равенства на , получаем, что при m n выражается над k в виде линейной комбинации меньших степеней U. В то же время элементы 1, U,...,   линейно независимы над k, так как в противном случае U было бы корнем уравнения степени меньше n, что невозможно. Остается проверить что множество X={ } является полем, для чего достаточно установить, что элемент x=1/ Положим: q= . Так как степень этого многочлена меньше n, ОНД(p,q)=1. По основной теореме теории делимости для многочленов можно подобрать такие многочлены s и t над полем k, что sq+tp=1. Но тогда s(U)q(U)=1 и следовательно x=   s(U)   k

Пример

Пусть k=Q, U= . Тогда , откуда =24. Значит U алгебраическое число, являющееся корнем уравнения p= +1=0. Решая это биквадратное уравнение определим все его корни: x= . Если бы многочлен p был приводим, он имел бы над Q делитель вида (x-a) или (x-a)(x-b) , где a,b некоторые из указанных выше корней. Однако непосредственная проверка показывает, что ни один из этих многочленов не имеет рациональных коэффициентов. Поэтому степень числа U равна 4 и базис в расширении составляют числа : 1, U= , , . Вместо них в базис можно включить 1, , , . Отсюда вытекает, что Q( )=Q( ) и таким образом присоединение двух элементов и равносильно присоединению единственного элементa . Можно доказать, что всякое конечное расширение поля характеристики 0 является простым алгебраическим расширением и таким образом для его построения достаточно к исходному полю присоединить один единственный элемент

Мультипликативная группа поля

Конечная подгруппа мультипликативной группы любого поля циклична

Доказательство. Проведем доказательство от противного. Пусть   - конечная подгруппа. Предположим, что G не является циклической группой. Рассмотрим первое каноническое разложение: , где n>1 и n | m. Тогда G , а значит и содержит подгруппу H . Для каждого   (а всего в H   элементов ) имеем: . Поэтому уравнение   в поле k имеет не менее     корней, что невозможно, так как степень этого уравнения равна n <

Следствие. Мультипликативная группа конечного поля циклична

Заметим, что этот результат нетривиален даже для простейших конечных полей GF(p) . Образующие элементы группы   называются первообразными корнями по модулю p . В следующей таблице приведены наименьшие первообразные корни по некоторым модулям:

Модуль

3

5

7

11

13

17

19

23

29

31

37

41

Первообразный корень mod(p)





































  Неприводимые многочлены над некоторыми полями

Поле комплексных чисел C . Имеет место фундаментальная теорема Гаусса: Всякий многочлен положительной степени над полем C имеет корень. Из нее вытекает, что над полем C неприводимы только многочлены первой степени

Поле вещественных чисел R . Чтобы перейти от поля C   к полю R , заметим, что отображение , сопоставляющее каждому комплексному числу z сопряженное число   является изоморфизмом поля на себя (автоморфизмом ) и переводит поле R в себя. Отсюда вытекает, что для всякого   и всякого     имеет место формула: = ( ), где - многочлен с комплексно сопряженными коэффициентами. Пусть теперь   - многочлен положительной степени. По теореме Гаусса он имеет корень. Но, ) = 0. Если , то многочлены ( x - ) и ( x   -   ) взаимно просты и из делимости многочлена p ( по теореме Безу) на   ( x - ) и на ( x   -   ) следует его делимость на их произведение   . Следовательно, над полем R неприводимыми будут , во первых, все многочлены первой степени, а, во-вторых, те многочлены второй степени, которые не имеют корней в R ( то есть у которых дискриминант отрицателен). Все прочие многочлены - приводимы

Поле рациональных чисел Q

Если q ненулевой многочлен с рациональными коэффициентами, то, приводя их к общему знаменателю, можно записать:   q = ( ) =   , где все коэффициенты   целые числа, ОНД( ) = 1 и , >0 . Легко видеть, что многочлен   и число   определены однозначно. Будем   называть   примитивным многочленом, соответствующим многочлену q

Лемма:

Для всякого целочисленного многочлена w =   и простого числа p обозначим через   многочлен над полем GF(p) , коэффициенты которого получаются из соответствующих коэффициентов w приведением по модулю p : . Очевидно, что отображение   является   гомоморфизмом кольца Z[x] в кольцо GF(p)[x] . Многочлен w будет примитивным тогда и только тогда, когда   для любого p   . Поскольку в кольце GF(p)[x] нет делителей нуля, отсюда и вытекает утверждение леммы

Таким образом вопрос о приводимости многочлена   над полем рациональных чисел сводится к вопросу о разложении на множители меньшей степени многочлена с целыми коэффициентами. В этом направлении имеется следующее достаточное условие неприводимости:
  1   2

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Расширения полей. Формальное присоединение элементов iconЭнергопринимающие устройства которого имеют технологическое присоединение...

Расширения полей. Формальное присоединение элементов iconРуководство по целительству энергетическим полем человека барбара Энн Бреннан
Автор подробно рассказывает о различии энергетических полей в соответствии с харак­тером личности и об эффективных способах расширения...

Расширения полей. Формальное присоединение элементов iconПакет расширения 5 для sap erp 0
Слова или символы, отображаемые на экране. В том числе, это имена полей, заголовки экранов, значения кнопок, а также названия пунктов...

Расширения полей. Формальное присоединение элементов iconПакет расширения 5 для sap erp 0
Слова или символы, отображаемые на экране. В том числе, это имена полей, заголовки экранов, значения кнопок, а также названия пунктов...

Расширения полей. Формальное присоединение элементов iconПакет расширения 5 для sap erp 0
Слова или символы, отображаемые на экране. В том числе, это имена полей, заголовки экранов, значения кнопок, а также названия пунктов...

Расширения полей. Формальное присоединение элементов iconПриказ от 30 ноября 2010 г. N 365-э/5 об утверждении методических...
Утвердить Методические указания по определению размера платы за технологическое присоединение к электрическим сетям согласно приложению...

Расширения полей. Формальное присоединение элементов iconJai Haridas, Niranjan Nilakantan, Brad Calder
Извлечение элементов, добавленных последними (моделирование расположения элементов в порядке по убыванию) 26

Расширения полей. Формальное присоединение элементов iconОстроумов С. А. Накопление элементов в организмах и их роль в биогеохимических...
Остроумов С. А. Накопление элементов в организмах и их роль в биогеохимических потоках элементов (препринт). Москва, 2010

Расширения полей. Формальное присоединение элементов iconПримечания и библиографические указания
Более формальное изложение вопросов, связанных со спецификацией, представлением и реализацией структур данных, можно найти в [8]...

Расширения полей. Формальное присоединение элементов iconHuman Resources «success»
...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
vbibl.ru
Главная страница