Методические указания и контрольные задания для студентов заочников Специальности 230101 «Вычислительные машины, комплексы, системы и сети»




НазваниеМетодические указания и контрольные задания для студентов заочников Специальности 230101 «Вычислительные машины, комплексы, системы и сети»
страница5/7
Дата публикации03.04.2013
Размер0.58 Mb.
ТипМетодические указания
vbibl.ru > Математика > Методические указания
1   2   3   4   5   6   7

Пример 5.

Часто за новую переменную удобно взять подкоренное выражение, если под интегралом присутствует также его производная с точностью до постоянного множителя.



Проверка:



Пример 6.

Подстановка выбирается аналогично предыдущему примеру.



Пример 7.

Новая переменная иногда выбирается из следующих соображений: в знаменателе стоит разность постоянной и квадрата некоторой функции. Эту функцию мы принимаем за новую переменную, если в числителе присутствует ее производная (с точностью до постоянного множителя).



Пример 8.

Подстановка выбирается аналогично предыдущему примеру.



Пример 9.

За новую переменную иногда выбирают функцию, стоящую в основании степени, если подынтегральное выражение содержит производную этой функции с точностью до постоянного множителя.



Пример 10.

Подстановка выбирается аналогично предыдущему примеру.



Сделайте самостоятельно проверку в примерах 6-10.

Интеграл из пункта в) вашей контрольной работы берется методом интегрирования “по частям”. Этим методом интегрируются некоторые произведения, например произведения степенной функции на логарифмическую или на показательную, или на тригонометрическую, или на обратные тригонометрические функции и др.

Интегрирование “по частям” производится по формуле



Чтобы воспользоваться этой формулой, следует один множитель в подынтегральном выражении обозначить за “u”, а оставшийся множитель вместе с dx принять за “dv”.

Для того, чтобы интеграл в правой части был проще данного интеграла, надо правильно выбрать “u” и “dv”.

В интегралах, берущихся по частям, обычно логарифмическую и обратные тригонометрические функции принимают за “u”. Если подынтегральная функция содержит произведение степенной функции на показательную или тригонометрическую, то за “u” принимается степенная функция.

Пример 11.



Пример 12.



Пример 13.



Пример 14.



Чтобы взять последний интеграл, умножим и разделим числитель на 9, затем в числителе прибавим и отнимем единицу, после чего разобьем интеграл на два табличных:



Обязательно сделайте проверку в примерах 11-14.

В пункте г) вашей контрольной работы предлагается взять интеграл от рациональной дроби.

Пример 15.



Под знаком интеграла стоит рациональная дробь.

  1. Так как подинтегральная рациональная дробь неправильная (степень многочлена в числителе выше степени многочлена в знаменателе),то выделим целую часть, разделив числитель на знаменатель “углом” (аналогично тому, как в задачах 41-50):



Итак, подынтегральную функцию можно записать в виде:



Тогда данный интеграл (обозначим его J), можно представить как сумму интегралов:



  1. Чтобы взять полученный новый интеграл от правильной рациональной дроби (обозначим его J1, разложим знаменатель подынтегральной функции на множители.

Для этого найдем корни квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе:   x2-3x+12=0.



Тогда



  1. Представим полученную правильную дробь в виде суммы элементарных дробей:



Здесь А и В - числа, которые нужно найти. Сделаем приведение к общему знаменателю в правой части:



Так как дроби тождественно равны и равны их знаменатели, то должны быть равны и их числители:

7x-12=A(x-2)+B(x-1);

7x-12=Ax-2A+Bx-B;

7x-12=(A+B)x+(-2A-B).

Это тождество выполняется тогда и только тогда, когда слева и справа равны коэффициенты при одинаковых степенях х:



Получена система двух уравнений с двумя неизвестными А и В, решив которую, найдем А=5; В=2.

Подставим найденные числа в равенство (*):



  1. Вернемся к интегралу J1:



  1. Окончательно искомый интеграл равен:



Проверка:



В задачах используется определенный интеграл, который вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница.



где F(х) – первообразная для , то есть ;

a и b - пределы интегрирования, показывающие, как меняется переменная интегрирования х.

Обратите внимание на то, что определенный интеграл – это число, в отличие от неопределенного интеграла, который является множеством функций. Формула Ньютона-Лейбница связывает определенный и неопределенный интегралы. Чтобы ею воспользоваться, следует взять сначала неопределенный интеграл (вернее, найти лишь одну первообразную, не прибавляя произвольной постоянной), а затем вычислить разность значений первообразной в верхнем и нижнем пределах.

^ Задача.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой у=x2-6x+5 и прямой y = x-1. Сделать чертеж.

Решение.

Построим параболу и прямую.

Для построения параболы найдем координаты ее вершины и точки пересечения ее с осями координат.

Вершина параболы является точкой экстремума, поэтому для ее отыскания найдем производную и приравняем ее к нулю.



тогда 

Итак, вершина параболы в точке (3;-4).

Точки пересечения параболы с осью Ох: y=0, тогда

х2-6х+5=0, откуда х1=1; х2=5, то есть точки (1;0) и (5;0).

Точка пересечения с осью Оу: х=0, тогда y=5; то есть точка (0;5).

Строим параболу по найденным точкам, замечая, что ветви параболы направлены вверх (рис. 9).

Прямую y=х-1 строим по двум точкам: (0;-1) и (1;0).

Получены точки заштрихуем плоскую фигуру, ограниченную параболой и прямой.



Найдем точки пересечения параболы и прямой, решив систему уравнений:





Для отыскания искомой площади воспользуемся формулой



где функции ограничивают фигуру соответственно снизу и сверху, то есть при

В нашей задаче

Поэтому:



Ответ:

Площадь искомой криволинейной трапеции:


Дифференциальные уравнения.

По этой теме необходимо изучить следующие вопросы:

  1. Какое уравнение называется дифференциальным? Как определяется порядок дифференциального уравнения?

  2. Что называется решением дифференциального уравнения? Общее и частные решения дифференциальных уравнений первого и второго порядков.

  3. Задача Коши для дифференциального уравнения первого и второго порядков. Геометрический и механический смысл начальных условий.

  4. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными: P(x)dx+Q(y)dy=0. Нахождение их общего и частного решений.

  5. Линейное дифференциальное уравнение первого порядка: . Отыскание его общего и частного решений.

  6. Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, нахождение их общих и частных решений.

Задача.

Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальному условию y=y0 при x=x0.

Уравнения предлагаемого вида являются линейными, так как содержат искомую функцию “y” и ее производную “y/ в первых степенях. Один из способов решения таких уравнений заключается в том, что функцию y(x) ищем в виде произведения двух дифференцируемых функций u(x) и v(x), одна из которых побирается специальным образом, а другая находится из условия удовлетворения их произведения исходному уравнению. С помощью этого приема решение линейного дифференциального уравнения первого порядка сводится к решению двух дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными соответственно для функций u(x) и v(x).

Рассмотрим ряд примеров. Напомним, что производная равна отношению дифференциалов:



Пример 1.



Ищем решение уравнения в виде y=uv. Найдем производную этого произведения: y/=u/v+uv/. Подставим функцию y и ее производную у/ в исходное уравнение:



В левой части уравнения сгруппируем слагаемые, имеющие общий множитель “u”, и вынесем его за скобку:



Подберем вспомогательную функцию “v” так, чтобы обратилось в нуль выражение, стоящее в круглых скобках: v/-2v=0

Тогда уравнение примет вид: u/v=e2x

Оба последних уравнения решаются разделением переменных. Сначала находим частное решение первого из них, то есть функцию v(x), а затем, подставив ее во второе уравнение, найдем функцию u(x,с).


1   2   3   4   5   6   7

Похожие:

Методические указания и контрольные задания для студентов заочников Специальности 230101 «Вычислительные машины, комплексы, системы и сети» iconМетодические указания по выполнению дипломных проектов по специальности...
Методические указания по выполнению дипломных проектов по специальности 230101 «Вычислительные машины, комплексы, системы и сети»...

Методические указания и контрольные задания для студентов заочников Специальности 230101 «Вычислительные машины, комплексы, системы и сети» iconМетодические указания по выполнению лабораторных работ для студентов...
Изучение установок стиля окна OpenGL, установки формата пикселей, текущего контекста воспроизведения

Методические указания и контрольные задания для студентов заочников Специальности 230101 «Вычислительные машины, комплексы, системы и сети» iconМетодические указания по выполнению лабораторных работ для студентов...
Целью лабораторной работы является изучение простейших способов воспроизведения звуковых файлов при помощи использования функции...

Методические указания и контрольные задания для студентов заочников Специальности 230101 «Вычислительные машины, комплексы, системы и сети» iconМетодические указания по выполнению контрольно-курсовой работы для...
Цели и задачи выполнения контрольно-курсовой работы

Методические указания и контрольные задания для студентов заочников Специальности 230101 «Вычислительные машины, комплексы, системы и сети» iconМетодические указания по выполнению контрольно-курсовой работы для...
Цели и задачи выполнения контрольно-курсовой работы

Методические указания и контрольные задания для студентов заочников Специальности 230101 «Вычислительные машины, комплексы, системы и сети» iconМетодические указания по выполнению лабораторных работ для студентов...
...

Методические указания и контрольные задания для студентов заочников Специальности 230101 «Вычислительные машины, комплексы, системы и сети» iconАфонский А. А., Дьяконов В. П. Цифровые анализаторы спектра, сигналов и логики
Методические указания по выполнению дипломных проектов по специальности 220101 «Вычислительные машины, комплексы, системы и сети»...

Методические указания и контрольные задания для студентов заочников Специальности 230101 «Вычислительные машины, комплексы, системы и сети» iconКафедра «Электронных вычислительных машин» методические указания...
Методические указания к дипломному проектированию составлены и доц каф ЭВМ лебеденко Ю. И. и обсуждены на заседании кафедры ЭВМ факультета...

Методические указания и контрольные задания для студентов заочников Специальности 230101 «Вычислительные машины, комплексы, системы и сети» iconПрограмма проведения итогового междисциплинарного экзамена по специальности...
Программа составлена проф. Карповым В. С., проф. Токаревым В. Л., доц. Берсеневым Г. Б. и доц. Лебеденко Ю. И. и обсуждена на заседании...

Методические указания и контрольные задания для студентов заочников Специальности 230101 «Вычислительные машины, комплексы, системы и сети» icon1. Элементная база микропроцессорных систем
Дисциплины, выносимые кафедрой ЭВМ на междисциплинарный экзамен по специальности 230101 «Вычислительные машины, комплексы, системы...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
vbibl.ru
Главная страница