3. Производная гамма функции 11




Скачать 113.88 Kb.
Название3. Производная гамма функции 11
страница1/2
Дата публикации03.04.2013
Размер113.88 Kb.
ТипДокументы
vbibl.ru > Математика > Документы
  1   2
1. Бэта-функции 6

Бэта – функции определяются интегралом Эйлера первого рода:
= (1.1)
сходятся при .Полагая =1 – t получим:
= - =
т.e. аргумент и входят в симетрично. Принимая во внимание тождество

по формуле интегрирования почестям имеем



Откуда
= (1.2)

7

При целом b = n последовательно применяя(1.2)

Получим
(1.3)

при целых = m,= n,имеем


но B(1,1) = 1,следовательно:




Положим в (1.1) .Так как график функции симметрична относительно прямой ,то


8

и в результате подстановки ,получаем


полагая в(1.1) ,откуда ,получим
(1.4)
разделяя интеграл на два в пределах от 0 до 1 и от 1 до и применение ко второму интегралу подстановки ,получим
=


2. Гамма-функция 9

Гамма функцию определяет интеграл Эйлера второго рода
(a) = (2.1)
сходящийся при 0.Положим =ty,t > 0 ,имеем
(a) =
и после замены , через и t через 1+t ,получим

Умножая это равенство и интегрируя по t и пределах от 0 до, имеем:

или на основании (1.4) и после изменения в правой части порядка интегрирования ,получаем:

10

откуда

(2.2)
заменяя в (2,1) ,на и интегрируем по частям

получаем рекурентною формулу
(2.3)



так как

но при целом имеем
(2.4)
то есть при целых значениях аргумента гамма-функция превращается в факториал.Порядок которого на единицу меньше взятого значения аргумента.При n=1 в (2.4) имеем



3. Производная гамма функции 11

Интеграл




сходится при каждом ,поскольку ,и интеграл при сходится.

В области , где - произвольное положительное число, этот интеграл сходится равномерно, так как и можна применить признак Веерштраса. Сходящимся при всех значениях является и весь интеграл так как и второе слогаемое правой части является интегралом, заведомо сходящимся при любом.Легко видеть что интеграл сходится пов любой области где произвольно.Действительно для всех указаных значений и для всех ,и так как сходится, то выполнены условия признака Веерштрасса. Таким образом , в области интеграл cходится равномерно.

Отсюда вытекает непрерывность гамма функции при.Докажем дифференцируемость этой функции при .Заметим что функция непрерывна при и, и покажем ,что интеграл :



12

сходится равномерно на каждом сегменте , . Выберем число так , чтобы ; тогда при .Поэтому существует число такое , что и на.Но тогда на справедливо неравенство



и так как интеграл сходится, то интеграл сходится равномерно относительно на . Аналогично для существует такое число , что для всех выполняется неравенство . При таких и всех получим , откуда в силу признака сравнения следует , что интеграл сходится равномерно относительно на . Наконец , интеграл

в котором подынтегральная функция непрерывна в области

, очевидно, сходится равномерно относительно на . Таким образом , на интеграл

13

сходится равномерно , а, следовательно , гаммма функция бесконечно дифференцируема при любом и справедливо равенство

.
Относительно интеграла можна повторить теже рассуждения и заключить, что

По индукции доказывается , что Г-функция бесконечно дифференцируема прии для ее я -ой производной справедливо равенство

Изучим теперь поведение - функции и построим єскиз ее графика .

Из выражения для второй производной -функции видно, что для всех . Следовательно, возрастает. Поскольку , то по теореме Роля на сегменте [1,2]производная при и при , т. е. Монотонно убывает на и монотонно возрастает на . Далее , поскольку , то при . При из формулы следует , что при .

14

Равенство , справедливое при , можно использовать при распространении - функции на отрицательное значение .

Положим для, что . Правая часть этого равенства определена для из (-1,0). Получаем, что так продолженная функция принимает на (-1,0) отрицательные значения и при , а также при функция .

Определив таким образом на , мы можем по той же формуле продолжить ее на интервал (-2,-1). На этом интервале продолжением окажется функция, принимающая положительные значения и такая, что при и . Продолжая этот процесс, определим функцию , имеющею разрывы в целочисленных точках (см. рис.1)

Отметим еще раз, что интеграл

определяет Г-функцию только при положительных значениях , продолжение на отрицательные значения осуществлено нами формально с помощью формулы приведения .


15



(рис.1)

^ 4. Вычисление некоторых интегралов. 16

Формула Стирлинга
  1   2

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

3. Производная гамма функции 11 iconРешение больного
Хх века, с появлением первого опыта применения «Гамма-ножа» в нейроонкологии, отношение к нему стало постепенно меняться. В настоящее...

3. Производная гамма функции 11 iconВопросы к зачету по алгебре по теме «Производная»

3. Производная гамма функции 11 iconИсследование алгоритма Ангера 5 1 Искажения поля 6 2 Среднее пространственное...
...

3. Производная гамма функции 11 iconУрока Опрос
Цель урока: Дать понятие функции косинуса, схему исследования функции y=cosx. Научить строить график y=cosx. Показать применение...

3. Производная гамма функции 11 iconРазработка многопроцессорной системы сбора для реализации аппроксимационного...

3. Производная гамма функции 11 iconОт переводчика предисловие
Спектр электромагнитного излучения от самых коротких волн (гамма-излучение) до самых длинных (радиоизлучение)

3. Производная гамма функции 11 iconЭкзаменационные вопросы по статистике эо-10
Структура и функции органов государственной статистики. Основные задачи, права и функции Росстата

3. Производная гамма функции 11 iconЭкзаменационные вопросы по статистике фоп-11
Структура и функции органов государственной статистики. Основные задачи, права и функции Росстата

3. Производная гамма функции 11 iconСхема полного исследования функции y=f(Х)
Область определения функции (те значения Х, которые допустимы при выполнении операций, входящих в функцию)

3. Производная гамма функции 11 iconПрограмма международной научно-технической конференции
Портной А. Ю., Павлинский Г. В., Горбунов М. С. Метод расчета энергетических и пространственных параметров рентгеновских и гамма...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
vbibl.ru
Главная страница