Equation Chapter 1 Section 1Бифуркации Андронова-Хопфа (двухмерная динамическая система)




Скачать 70.28 Kb.
НазваниеEquation Chapter 1 Section 1Бифуркации Андронова-Хопфа (двухмерная динамическая система)
Дата публикации11.08.2013
Размер70.28 Kb.
ТипДокументы
vbibl.ru > Математика > Документы

Equation Chapter 1 Section 1Бифуркации Андронова-Хопфа (двухмерная динамическая система)


Слово бифуркация в переводе с латыни означает раздвоение. Термин бифуркация используется в различных разделах естественных наук, но точное определение понятия бифуркации может зависеть от класса исследуемых проблем. Часто исследование состояний равновесия некоторой системы в зависимости от параметра может быть сведено к решению уравнения , причем. Говорят, что − бифуркационное значение параметра, если в любой окрестности точки уравнение решения, отличные от тривиального, и стремящиеся к нулю при .

Иначе определяется бифуркации в теории динамических систем, описывающих развитие процесса во времени. Пусть динамическая система описывается автономной системой дифференциальных уравнений, содержащей числовой параметр

(1.1)

Будем предполагать, что функция имеет частные производные всех порядков в некоторой окрестности точки . Предположим, что изолированное положение равновесия.

Замкнутым фазовым траекториям соответствуют периодические решения. Изолированная замкнутая фазовая траектория называется предельным циклом. Предельный цикл устойчив, если для любой окрестности существует такая окрестность, что все интегральные кривые, пересекающие при остаются в окрестности при . Если

, (1.2)

то предельный цикл асимптотически устойчив.

Теорема Пуанкаре-Бендиксона. Любая фазовая траектория, лежащая внутри компакта, либо замкнута, либо асимптотически стремится при к положению равновесия или предельному циклу.

Значение параметра , бифуркационное, если при переходе через это значение параметра фазовые картинки в окрестности положения равновесия качественно различны (не могут быть получены одна из другой при помощи непрерывного и взаимно однозначного отображения).

Бифуркации, возникающие, когда матрица имеет пару чисто мнимых собственных значений, называют бифуркациями Андронова-Хопфа.

Начнем с простого, но принципиально важного примера

(1)

Матрица линеаризированной системы

.

Матрица имеет собственные значения . При положение равновесия линеаризировааной системы, будет устойчивым фокусом, а при неустойчивым фокусом, при центром.

Умножая первое уравнение на , а второе уравнение на и складывая результат, получаем, что

(2)

Умножая второе уравнение (1) на первое на и вычитая результат, получаем, что

(3)

Перейдем в уравнениях (2.3) к полярным координатам



Уравнения (2) и (3) запишутся в виде

(4)

.

Уравнение (4) имеет следующие решения

.

Получаем следующие решения системы уравнений (1)

Положение равновесия

;

Предельный цикл



Семейство траекторий

(5)

Из формул (5) следует, что при устойчиво положение равновесия и неустойчив предельный цикл. При положение равновесия неустойчиво, а предельный цикл устойчив. При переходе через бифуркационное значения параметра происходит бифуркация Андронова-Хопфа.

Заметим еще, что систему уравнений (1) можно записать в комплексном виде. Полагая

,

получаем уравнение

(6)

В системе (1) нелинейные члены обращались в ноль при . Система

(7)

сводится к системе (1) при помощи замены . В фазовой плоскости предельный цикл является окружностью радиуса 1, а в фазовой плоскости предельный цикл является окружность радиуса .

Важность примеров (1) и (7) обусловлена тем, что они описывают типичную ситуацию бифуркации Хопфа в системах второго порядка.

Пусть (1.1) есть система второго порядка. Запишем ее в следующем виде

(8)

Характеристическое уравнение для матрицы

.

Предполагается, что характеристическое уравнение имеет комплексные собственные значения. Для этого необходимо, чтобы .

Предполагается, что . Собственнoe числo и собственный вектор матрицы

(9)

Возьмем в качестве базисных вектора .



Подставляя эти выражения в уравнение (8), получаем



(10)

Если первоначальный базис был , то



Откуда следует, что

(11)

(12)

Без ограниченя общности можно считать, что Итак, система уравнений приводится к комплексной форме

(13)

Приведение системы к нормальному виду. Рассмотрим замену

(14)

Потребуем, чтобы в результате такой замены уравнение принимало следующий вид

(15)

Подставляя выражения (14) и (15) в уравнение (13), получаем, что

(16)

(17)

(18)

Из формулы (14)следует, что



Неизвестные коэффициенты находятся из уравнения (18) после сравнения коэффициентов при одинаковых степенях Рассмотрим число



Мнимая часть этого числа обращается в ноль при . Чтобы избежать проблемы малых коэффициентов положим .

При приравниваем соответствующие квадратичные формы

(19)

Приравниваем формы третьего порядка



Из этого равенства определяются неизвестные коэффициенты



Аналогично определяются остальные коэффициенты. Так как выкладки громоздкие, то их можно проводить на компьютере при помощи программ символьных вычислений.

Уравнение в нормальной форме



В полярных координатах

(20)

В формуле (20) гладкая - периодическая функция. Отделяя действительную и мнимую части, получаем систему уравнений

(20)

(21)

При малых значениях параметра и при ограниченных значениях в качестве независимой переменной можно принять полярный угол . Получаем систему уравнений

(22)

(23)

Предполагается, что . Поэтому без ограничения общности можно считать . Уравнение (22) решается независимо от уравнения (23). Если функция найдена, то функция находится из уравнения (23).

Полагая в уравнении (22) , получаем уравнение

(24)

Будем искать приближенное решение уравнения (22) в следующем виде

(25)

Подставляя выражение (25) в уравнение (24) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях параметра, получаем рекуррентную систему уравнений. При получаем уравнение

(26)

Функция строго возрастает и отображает расширенную прямую на отрезок . Рассмотрим множество функций непрерывных на и удовлетворяющих условию . Множество будет банаховым пространством с нормой

(27)

Заметим, что функция . Для определения функций получаем рекуррентную систему уравнений

(28)

Многочлены не содержат свободного члена и линейных членов и неотрицательны, если их аргументы неотрицательны.

Лемма 1. Если функция и то уравнение

(29)

имеет единственное неотрицательное решение в пространстве, причем .

Доказательство. Однородное уравнение (29) имеет частное решение . Это решение положительно и не принадлежит пространству . Покажем, что частное решение неоднородного уравнения

(30)

принадлежит пространству . Так как , то

(31)

Покажем, что функция имеет конечный предел при

(32)

Утверждение леммы следует из неравенства (31) и равенства (32). Лемма доказана.

Из леммы 1 следует, что все уравнения (28) могут быть последовательно разрешены в пространстве .

Теорема. Найдется такое число , что при уравнение (24) имеет ограниченное решение на интервале и .

Доказательство. Пусть пространство ограниченных и непрерывных функций с конечной нормой (27). Будем рассматривать уравнение (24) как уравнение вида в пространстве ограниченный и непрерывных функций , полагая

(33)

В силу наложенных ограничений оператор действует в пространстве и имеет и на любом отрезке имеет производную Фреше, удовлетворяющую условию Липшица с константой Липшица . Возьмем в качестве начального приближения функцию . Оператор имеет ограниченный обратный оператор при достаточно малых значениях параметра . Действительно, при оператор



Имеет ограниченный обратный в силу леммы 1. Так как оператор отличается от оператора на ограниченный линейный оператор, норма которого имеет порядок , то оператор также имеет ограниченный обратный при достаточно малых значениях параметра и . В силу определения функции невязка



Но тогда для достаточно малых значений параметра и силу известной теоремы функционального анализа (см. модифицированный метод Ньютона решеия функциональных уравнений )уравнение имеет решение, причем , что и требовалось доказать.

Обратимся к решению уравнения (25). Положим



Лемма 2. Асимптотика при



Доказательство. Получается применением правила Лопиталя.


Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Equation Chapter 1 Section 1Бифуркации Андронова-Хопфа (двухмерная динамическая система) iconЭкзаменационные вопросы по курсу
Динамическая система. Пространство состояний и оператор. Фазовый портрет динамической системы. Примеры

Equation Chapter 1 Section 1Бифуркации Андронова-Хопфа (двухмерная динамическая система) iconSection Vocabulary, Grammar

Equation Chapter 1 Section 1Бифуркации Андронова-Хопфа (двухмерная динамическая система) icon6 The quantum equation of the mechanical force
На фото – доктор Константин Михайлович Расин, по возвращению из Калифорнии, сша, перед отъездом в Израиль г. Полтава, весна осень...

Equation Chapter 1 Section 1Бифуркации Андронова-Хопфа (двухмерная динамическая система) iconLerp (Situation au 11-11. 2012) Etablie et publiée par la section...

Equation Chapter 1 Section 1Бифуркации Андронова-Хопфа (двухмерная динамическая система) iconПолучение математической модели обжига клинкера на основе решения уравнения Винера-хопфа
В связи с этим, для идентификации предлагается использовать в качестве исходной информации естественные сигналы по различным каналам...

Equation Chapter 1 Section 1Бифуркации Андронова-Хопфа (двухмерная динамическая система) iconRussian level two supplementary workbook lesson 16 section A
В москве холодная но хорошая погода. Сегодня ноль градусов по Цельсии. (32 по-Фаренгейту)

Equation Chapter 1 Section 1Бифуркации Андронова-Хопфа (двухмерная динамическая система) iconМетодика
Медленноволновые колебания в кранио-сакральном пространстве: гемо-ликворо-динамическая концепция происхождения

Equation Chapter 1 Section 1Бифуркации Андронова-Хопфа (двухмерная динамическая система) iconSummaries, as you know, are common in all kinds of writing, usually...
Сущность аннотирования и реферирования заключается в максимальном сокращении объема источника информации при сохранении его основного...

Equation Chapter 1 Section 1Бифуркации Андронова-Хопфа (двухмерная динамическая система) iconТамбовское областное государственное учреждение
Динамическая ультрасонография в комплексной диагностике и лечении болезни Петерса у детей// Детская хирургия. 2010. № С. 6-8

Equation Chapter 1 Section 1Бифуркации Андронова-Хопфа (двухмерная динамическая система) iconЧто пишут мелким шрифтом в договорах, или Кое-что
Есть ли возможность отменить несправедливые условия кабального договора и что будет, если этого не сделать вовремя, рассказывает...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
vbibl.ru
Главная страница