Решение краевых задач с помощью




Скачать 168.46 Kb.
НазваниеРешение краевых задач с помощью
страница1/4
Дата публикации15.03.2013
Размер168.46 Kb.
ТипРешение
vbibl.ru > Математика > Решение
  1   2   3   4
РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ

S-СПЛАЙНА
Силаев Д.А., Коротаев Д.О.
(Россия, Москва)




Данная работа посвящена применению теории S-сплайнов для решения уравнений в частных производных на примере уравнения Пуассона. S-сплайн – кусочно-полиномиальная функция, коэффициенты полиномов которой определяются из двух условий: первая часть коэффициентов определяется условиями гладкой склейки, остальные определяются методом наименьших квадратов. В зависимости от порядка рассматриваемых полиномов и соотношения между количеством условий первого и второго типа мы получаем S-сплайны с разными свойствами. На настоящий момент изучены сплайны 3-й степени класса и сплайны 5-й степени класса (т.е. на них накладывались условия гладкой склейки вплоть до первой и второй производной соответственно). Мы рассмотрим, каким образом могут быть применены сплайны 3-й степени класса при решении уравнения Пуассона на круге и в других областях. Для начала нам потребуется определение одномерного и двумерного S-сплайна. Также мы приведем формулировки теорем о единственности и сходимости S-сплайнов.
^ SOLVING OF BOUNDARY TASKS BY USING S-SPLINE
Silaev D.A., Korotaev D.O.

This article is dedicated to use of S-spline theory for solving equations in partial derivatives. For example, we consider solving of Puasson equation. S-spline – is a piecewise-polynomial. Its koefficients are defined by two states. Its first part of koefficients are defined by smoothness of spline. The least koefficients are determined by least-squares method. According to order of considered polynomial and number of conditions of first and second type we get S-splines with different properties. At this moment we have investigated order 3 S-splines of class and order 5 S-splines of class (they meets conditions of smoothness of order 1 and 2 accordinally). We will consider how the order 3 S-splines of class can be applied for solving equation of Puasson on circle and on other areas.


1. Одномерный S-сплайн

1.1. Определение одномерного S-сплайна

Рассмотрим на отрезке равномерную сетку , ,  — шаг сетки. Рассмотрим на еще одну равномерную сетку , , Пусть . Обозначим



множество полиномов степени с фиксированными коэффициентами . Рассмотрим функционал:

В классе ищется такой полином, который минимизирует и удовлетворяет следующим начальным условиям

(1.1)

и условиям гладкой склейки двух последовательных полиномов

(1.2)

Определение 1. S-сплайном назовем функцию , которая совпадает с полиномом на отрезке .

Определение 2. Периодическим S-сплайном называется S-сплайн, являющийся периодической функцией на отрезке .

Предположение периодичности означает замену начальных условий (1.1) на следующие условия периодичности:

(1.3)

Здесь L – число полиномов, составляющих сплайн.

1.2. Построение системы линейных уравнений

Условия минимизации функционала дадут нам следующие уравнения:
(1.4)

где

(1.5)

Произведем замену переменных При этом уравнения (1.2) и (1.4) преобразуются в следующие:

(1.6)
(1.7)
Обозначим матрицы:



Кроме того, пусть


Тогда систему уравнений для определения коэффициентов периодического сплайна можно записать в виде:

(1.8)
Размерность этой системы - x. Здесь E, как обычно единичная матрица: . Для непериодического сплайна первые две строки заменяются на стартовые условия (1.1).

Введем обозначение :

(1.9) (1.9)

где

(1.10)
(1.11)
Если сделать некоторые преобразования, то система (1.8) распадается на систему размерности x:

(1.12)

из которой находятся первый и второй коэффициенты полиномов. Остальные два коэффициента определяются из метода наименьших квадратов (1.4). Заметим, что матрица U, определенная нами выше может быть также записана в виде .
1.3. Существование и единственность S-сплайнов
Теорема 1. При любых начальных условиях и для любых констант и M существует и единственен непериодический сплайн .

Теорема 2. Пусть числа и M таковы, что собственные числа матpицы U не равны корню степени L из единицы. Тогда существует и единственен периодический сплайн .

1.4. Сходимость S-сплайнов
Теорема 3. Пусть - периодическая функция и пусть выполнены предположения:

(1.13)

где константа не зависит от . Пусть, кроме того, собственные числа матрицы U (1.9) по модулю меньше единицы. Тогда периодический сплайн с узлами на равномерной сетке имеет дефект два (т.е. ), и для справедливы следующие оценки:

(1.14)

Теорема 4. Пусть и пусть выполнены предположения:

(1.15)

где константа не зависит от . Пусть, кроме того, собственные числа матрицы U (1.9) по модулю меньше единицы. Тогда непериодический сплайн c узлами на равномерной сетке имеет дефект два (т.е. ) и для справедливы следующие оценки:

(1.16)

  1   2   3   4

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Решение краевых задач с помощью iconРешение оптимизационных задач
С помощью электронных таблиц можно выполнять различные экономические, бухгалтерские и инженерные расчеты, а также строить разного...

Решение краевых задач с помощью icon“Решение задач линейного программирования большой размерности”
Реализовать на произвольной вычислительной технике с помощью любого программного средства один из методов решения задач линейного...

Решение краевых задач с помощью iconРешение финансовых задач с помощью финансовых функций excel 25
Сравнение эффективности двух инвестиционных проектов при платежах m раз в году 43

Решение краевых задач с помощью iconПрограмма элективного курса Элективный курс «Решение задач с параметрами»
Элективный курс «Решение задач с параметрами» предназначен для учащихся 10 класса и рассчитан на 34 часа, 1 час в неделю в течение...

Решение краевых задач с помощью iconРешение задач планирования, бюджетирования и финансового анализа
Решение предназначено для реализации кадровой политики предприятия и автоматизации денежных расчетов с персоналом. Кадровой службе...

Решение краевых задач с помощью iconВарианты контрольных работ по органической химии для студентов заочной формы обучения
Каждое из заданий разбито на ряд конкретных задач для усиления самостоятельности овладением материалом дисциплины. Набор задач в...

Решение краевых задач с помощью iconТематическое планирование. Геометрия 9 класс
Применение метода координат к решению задач Использование уравнений окружности и прямой при решение задач

Решение краевых задач с помощью iconЛогические и эвристические методы решения задач
Очевидно, что творческий процесс предполагает решение неординарных, не типовых, но творческих задач

Решение краевых задач с помощью iconВид уравнений различных типов
Классификация линейных дифференциальных уравнений в частных производных 2-го порядка. Уравнения переноса, теплопроводности, волновые...

Решение краевых задач с помощью icon6. Повышение эффективности деятельности государственных краевых и...
Покупка бухгалтерских услуг государственных краевых учреждений образования для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей,...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
vbibl.ru
Главная страница