Аппроксимация и интерполирование функций




Скачать 251.99 Kb.
НазваниеАппроксимация и интерполирование функций
страница1/2
Дата публикации15.03.2013
Размер251.99 Kb.
ТипЗадача
vbibl.ru > Математика > Задача
  1   2
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 2.

АППРОКСИМАЦИЯ И ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

Цель: изучить методы аппроксимации и интерполирования функций, научиться разрабатывать программные модули по предложенным алгоритмам.

Постановка задачи

Пусть функция задана таблично, либо вычисление ее требует громоздких выкладок. Заменим приближенно функцию на какую-либо функцию , так, чтобы отклонение от было в заданной области в некотором смысле минимальным. Подобная замена называется аппроксимацией функции , а функция – аппроксимирующей (приближающей) функцией.

Классический подход к решению задачи построения приближающей функции основывается на требование строгого совпадения значений и в точках (, т. е. .

В этом случае нахождение приближенной функции называют интерполяцией (или интерполированием), точки – узлами интерполяции.
^

Аппроксимация функции

методом наименьших квадратов.


В результате эксперимента были получены следующие данные:

X

Y

x1

y1

x2

y2

x3

y3

x4

y4

Аналитическая зависимость y = f(x) неизвестна. ^ Задача аппроксимации сводится к определению свободного параметра функции заданного вида, который обеспечит наилучшее приближение функции заданной таблично к модельной аналитической функции.

Пусть задана функция (задана таблично). Определить аппроксимационный многочлен вида . Коэффициенты определяются по методу наименьших квадратов. Функционал S рассчитывают по формуле .

Суть метода наименьших квадратов:



После преобразования система слегка упростится:

(*)

Если полином первой степени, то 2 уравнения, если шестой степени, то 7 уравнений. Введём следующее обозначение - количество исходных значений X и Y.

, через С0 обозначим сумму всех "у"-ов:

С учётом этих обозначений система (*) перепишется следующим образом:



Пример. Найти значение y = f(x) при x = 0,4 заданной таблично:

i

0

1

2

3

xi

0

0,1

0,3

0,5

yi

–0,5

0

0,2

1



^

Локальная интерполяция


Линейная интерполяция

y = aix + bi

ai = (yi yi–1)/(xi xi–1), bi = yi–1 aixi–1.

xt = 0,4; 0,3  xt 0,5; xi–1 = 0,3; xi = 0,5

yi–1 = 0,2; yi = 1

a3 = (1 – 0,2)/(0,5 – 0,3) = 0,8/0,2 = 4; b3 = –1;

y = 4x–1, при x = 0,4; y = 40,4 – 1 = 0,6.

Квадратичная интерполяция

y=aix2+bix+ci

Выбираем три ближайшие точки к xt = 0,4

xi–1 = 0,1; xi = 0,3; xi+1 = 0,5.

yi–1 = 0; yi = 0,2; yi+1 = 1.



A = ; = ; ==A–1.

Найдем A–1 = ;

= = ;

a = 0 – = 7,5; b = –2; c = 0,125;

y = 7,5x2 – 2x + 0,125; при x = 0,4; y = 0,525.
^

Глобальная интерполяция


Интерполяционный многочлен Лагранжа

L(x) = ;





при x = 0,4; yL(x) = 0,3999.

Найдем выражение для полинома Лагранжа для данной таблицы при n=1 и для xT = 0,4;



Для n = 2 при xT = 0,4 y L(x) =

Для рассматриваемого интервала [x1, x3], берем x0 = 0,1; x1 = 0,3; x2 = 0,5; y0 = 0; y1 = 0,2; y2 = 1. Тогда

y L(x) = 0,2.

Алгоритм расчета интерполяционного многочлена Лагранжа, реализованный в виде функции ^ PL (рис. 1)с параметрами:

xT – значение текущей точки;

, – одномерные массивы известных значений x и f(x);

n – размер массивов , ;

представлен на рис. 5.1.

В схеме введены следующие обозначения:

p – значение накапливаемой суммы, результат которой равен L(xТ);

e – значение очередного члена произведения;

Результатом функции PL является значение p.



Рис. 1. Схема расчета интерполяционного многочлена Лагранжа


Интерполяционный многочлен Ньютона

Имеем случай неравностоящих узлов, n = 3;

N3(x) = f(x0) + (xx0)f(x0,x1) + (xx0)(xx1)f(x0,x1,x2) + (xx0)(xx1)(xx2)f(x0,x1,x2,x3).

По схеме таблицы 2 находим раздельные разности

f(x0,x1) =;

f(x1,x2) =;

f(x2,x3) = ;

f(x0,x1,x2) =

f(x1,x2,x3) =

f(x0,x1,x2,x3) =.

Результаты расчетов поместим в таблицу:

n

xn

fn

f(xn, xn+1)

f(xn, xn+1, xn+2)

f(xn, xn+1, xn+2, xn+3)

0

0

–0,5










1

0,1

0

5

–40/3

125/3

2

0,3

0,2

1

15/2




3

0,5

1

4








Используя первые в столбцах разделенные разности, получим

N3(x) = –0,5 + (x – 0)5 + (x – 0)(x – 0,1)(–) + (x – 0)(x – 0,1)(x – 0,3)=

= x3 – 30x2 + x – 0,5 .

Напомним, что расчеты интерполяционного многочлена Ньютона выполняются по формуле

,

где – текущая точка, в которой надо вычислить значение многочлена;

– разделенные разности порядка k, которые вычисляются по следующим рекуррентным формулам:



Схема алгоритма расчета многочлена Ньютона, реализованная в виде функции PN с параметрами, значения которых аналогичны рассмотренной ранее функции PL, представлена на рис. 2.

Результатом функции PN является значение N.

Рис. 2. Схема расчета многочлена Ньютона
Часто интерполирование ведется для функций, заданных таблицами с равноотстоящими значениями аргумента . В этом случае шаг таблицы является величиной постоянной. Для таких таблиц построение интерполяционных формул (как, впрочем, и вычисление по этим формулам) заметно упрощается.

+3y0, (3.5)

где .

, (3.6)

где – некоторая внутренняя точка наименьшего промежутка, содержащего все узлы и x.

Формула (3.5) называется первой интерполяционной формулой Ньютона. Если вычисляемое значение переменной ближе к концу отрезка , то применяют вторую формулу Ньютона – интерполирование назад (формула (3.6)).

+3yn-3 (3.6)

где и
Таблица 3.7















=-









=










=




















Аппроксимация и интерполирование средствами MathCad.

Векторы исходных данных:

Функция mnk, строящая многочлен степени m по методу наименьших квадратов,

возвращает вектор a коэффициентов многочлена:


^ Входные параметры:

x, y - векторы исходных данных; n+1 - размерность x,y.

Вычисление коэффициентов многочленов степени 0,1,2,3 по методу наименьших квадратов:


Функция P возвращает значение многочлена степени m в точке t;многочлен задается с помощью вектора коэффициентов a:



Ф

ункция возвращает значение среднеквадратичного уклонения многочлена P(a,m,t):
Вычисление значений , m=0,1,2,3:

Гистограмма


Вывод: оптимальная степень m*=2; многочлен наилучшего среднеквадратичного приближения: P2(x)=-1.102+1.598x+0.717

Графики многочленов степени 0,1,2 и точечный график исходной функции:



Функция inter возвращает значение интерполяционного многочлена в форме Ньютона (с разделенными разностями) в точке t:

Вычисление значений интерполяционного многочлена в точках :


Графики интерполяционного многочленa, многочлена наилучшего приближения P2 и точечный график исходной функции:



Задача 1. Функция задана таблицей своих значений:




-2

-1

0

1

2












  1   2

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Аппроксимация и интерполирование функций icon2. 10. Методы построения разностных схем для задач математической...
Аппроксимация дифференциальных задач может проводиться несколькими способами. Например, аппроксимация с помощью рядов Тейлора или...

Аппроксимация и интерполирование функций icon2. 15 Аппроксимация функций. Метод наименьших квадратов
Если какую либо функцию f на промежутке [a, b] приближенно воспроизводят с помощью другой, g(X),то качество этой аппроксимации можно...

Аппроксимация и интерполирование функций iconКурсовая работа по информатике на тему: «Обзор встроенных функций ms excel»
В microsoft Excel имеется целый ряд встроенных математических функций, позволяющих легко и быстро выполнять различные специализированные...

Аппроксимация и интерполирование функций iconИнтерполирование сплайнами
Для того, чтобы избежать больших погрешностей, весь отрезок разбивают на частичные отрезки и на каждом из частичных отрезков приближенно...

Аппроксимация и интерполирование функций iconЕматический план изучения дисциплины № п/п
Внутренняя среда организма. Принципы регуляции функций Внутрисистемные и межсистемные механизмы компенсации нарушенных функций

Аппроксимация и интерполирование функций iconПрограмма государственного экзамена по математике для студентов специальности...
Предел и непрерывность функций. Свойства непрерывных функций на компактном множестве

Аппроксимация и интерполирование функций iconТема Процедуры и функции. Заголовок и тело процедур и функций, классификация...

Аппроксимация и интерполирование функций iconТеоретические вопросы №
Понятие и классификация функций государства. Характеристика основных функций современного российского государства

Аппроксимация и интерполирование функций iconДоговор на выполнение функций заказчика строительства
В данном материале мы остановимся на основах построения отношений по передаче функций заказчика в строительстве третьему лицу

Аппроксимация и интерполирование функций iconРешение разностных уравнений
Разностные схемы для уравнений параболического типа (уравнение теплопроводности). Аппроксимация, устойчивость и сходимость. Явные...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
vbibl.ru
Главная страница