Закон распределения вероятностей дискретной случайной вел-ны




Скачать 244.75 Kb.
НазваниеЗакон распределения вероятностей дискретной случайной вел-ны
страница1/3
Дата публикации11.06.2013
Размер244.75 Kb.
ТипЗакон
vbibl.ru > Математика > Закон
  1   2   3
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТ. СТАТИСТИКА

Содержание

1. Теоремы вероятностей

1.1 Теорема сложения вероятностей

1.2 Теорема умножения вероятностей

1.3 Следствия теорем сложения и умножения

1.3.1 Теорема сложения вероятностей совместных событий

1.3.2 Формула полной вероятности

2. Дискретные случайные величины

2.1 Дискретные и непрерывные случайные величины

2.2 Закон распределения вероятностей дискретной случайной вел-ны

2.3 Функции от случайной величины

2.4 Мат. ожидание случайной величины

2.5 Дисперсия случайной величины

2.6 Классические случайные величины

2.6.1 Биномиальное распределение (распределение Бернулли)

2.6.2 Геометрическое распределение

2.6.3 Пуассоновское распределение

2.7 Независимые случайные величины

3. Непрерывные случайные величины

3.1 Функции и плотность распределения

3.2 Мат. ожидание и дисперсия

3.3 Показательное распределение

3.4 Нормальное распределение

4. Статистическая обработка одномерных и двумерных выборок

4.1 Статическое распределение выборки

4.2 Эмпирическая функция распределения

4.3 Полигон и гистограмма

4.4 Выборочные моменты

4.5 Выборочная дисперсия

4.6 Введение ложного нуля при вычислении среднего

4.7 Введение ложного нуля при вычислении дисперсии

4.8 Неравенство Чебышева

4.9 Оценки параметров и их свойства

4.10 Свойства выборочного среднего

4.11 Свойства выборочной дисперсии

4.12 Подправленная выборочная дисперсия

4.13 Статистическая вероятность

5. Методы оценки параметров

5.1 Метод моментов

5.2 Метод максимального правдоподобия

6. Проверка статистических гипотез

6.1 Проверка гипотезы о законе распределения

6.1.1 Критерий Колмогорова

6.1.2 Критерий Пирсона (χ2)

6.2 Проверка гипотез о равенстве параметров распределения

7. Подбор зависимостей. Метод наименьших квадратов

7.1 Уравнение линейной регрессии


^

1. ТЕОРЕМЫ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

1.1 Теорема сложения вероятностей


Теорема сложения вероятностей несовместимых событий. Вероятность появления одного из двух несовместимых событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

P(A+B) = P(A) + P(B).

Док-во. Введем обозначения: n – общее число возможных элементарных исходов испытания; m1 – число исходов, благоприятствующих событию A; m2 – число исходов, благоприятствующих событию B.

Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо события A, либо события B, равно m1 + m2. Следовательно,

P(A+B) = (m1 + m2) / n = m1 / n + m2 / n.

Приняв во внимание, что m1 / n = P(A) и m2 / n = P(B), окончательно получим:

P(A+B) = P(A) + P(B)
Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместимых событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

P(A1 + A2 + … + An) = P(A1) + P(A2) + … + P(An).

Док-во. Рассмотрим три события A, B и C. Т.к. рассматриваемые события попарно несовместимы, то появление одного из трех событий, A, B и C, равносильно наступлению одного из двух событий, A+B и C, поэтому в силу указанной теоремы

^ P(A+B+C) = P[(A+B) + C] = P(A+B) + P(C) = P(A) + P(B) + P(C)

Для произвольного числа попарно несовместимых событий док-во проводится методом мат. индукции.
Теорема полной группы событий. Сумма вероятностей событий A1, A2, … , An, образующих полную группу, равно единице:

P(A1) + P(A2) + … + P(An) = 1.

Док-во. Т.к. появление одного из событий полной группы достоверно, а вероятность достоверного события равна единице, то

P(A1 + A2 + … + An) = 1 (1)

Любые два события полной группы несовместимы, поэтому можно применить теорему сложения:

P(A1 + A2 + … + An) =

= P(A1) + P(A2) + … + P(An) (2)

Сравнивая (1) и (2) получим:

P(A1) + P(A2) + … + P(An) = 1.
Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полую группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено ч/з A, то другое принято обозначать Ā.

Теорема о противоположных событиях. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

P(A) + P(Ā) = 1

Док-во. Противоположные события образуют полную группу, а сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице.

1.2 Теорема умножения вероятностей

Произведением двух событий А и В называется событие АВ, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий.

Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Условной вероятностью называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.

Условная вероятность события В при условии, что событие А уже наступило, по определению равна


Теорема умножения вероятностей. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:



Док-во. По определению условной вероятности,



Отсюда


Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились:



где – вероятность события , вычисленная в предположении, что события уже наступили
Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятность события В, т.е. если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности:



Если событие В не зависит от события А, то и событие А не зависит от события В, это означает, что свойство независимости событий взаимно.

Для независимых событий теорема умножения имеет вид



Два события называются независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в противном случае события называются зависимыми.

Несколько событий называют попарно независимыми, если каждые два из них независимы.

Несколько событий называют независимыми в совокупности (или просто независимыми), если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных.

Если несколько событий независимы попарно, то отсюда еще не слкдует их независимость в совокупности.
Следствие из теоремы умножения. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:



Док-во. Рассмотрим три события А, В и С. Совмещение событий А, В и С равносильно совмещению событий АВ и С, поэтому



Т.к. события А, В и С независимы в совокупности, то независимы, в частности, события АВ и С, а также А и В. По теореме умножения двух независимых событий имеем:

и

Итак, окончательно получим



Для произвольного n док-во проводится методом мат. индукции.
Вероятность появления хотя бы одного события

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного события , независимых в совокупности, равна разности м/у единицей и произведением вероятностей противоположных событий :



Док-во. Обозначим ч/з А событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий . Событие А и события (ни одно из событий не наступило) противоположны, следовательно сумма их вероятностей равна единице:



Отсюда, пользуясь теоремой умножения, получим:

или .
Частный случай. Если события имеют одинаковую вероятность, равную p, то вероятность появления хотя бы одного их этих событий

1.3 Следствия теорем сложения и умножения

1.3.1 Теорема сложения вероятностей совместных событий

Два события называют совместными, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного их двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

P(A+B) = P(A) +P(B) – P(AB)

Док-во. Поскольку события А и В, по условию, совместны, то событие А+В наступит, если наступит одно из следующих трех несовместных событий: По теореме сложения вероятностей несовместных событий,

(1)

Событие А произойдет, если наступит одно из двух несовместных событий: По теореме сложения вероятностей несовместных событий имеем:



Отсюда (2)

Аналогично имеем



Отсюда (3)

Подставив (2) и (3) в (1), окончательно получим:

P(A+B) = P(A) +P(B) – P(AB)
1.3.2 Формула полной вероятности

Теорема. Вероятность события А, к-рое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующих условную вероятность события А:



Эту формулу называют «формулой полной вероятности».

Док-во. По условию, событие А может наступить, если наступит одно из несовместных событий . Другими словами, появление события А означает осуществление одного, безразлично какого, из несовместных событий B1A, B2A, …, BnA. Пользуясь для вычисления вероятности события А теоремой сложения, получим

(1)

Остается вычислить каждое из слагаемых. По теореме умножения вероятностей зависимых событий имеем





Подставив правые части этих равенств в соотношение (1), получим формулу полной вероятности.


^ 2. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

2.1 Дискретные и непрерывные случайные величины

Случайной называют величину, к-рая в рез-те испытаний примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, к-рые заранее не могут быть учтены.

Дискретной (прерывной) называют случайную вел-ну, к-рая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной вел-ны м.б. конечным или бесконечным.

Непрерывной называют случайную величину, к-рая м. принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной вел-ны бесконечно.
^ 2.2 Закон распределения вероятностей дискретной случайной вел-ны

Законом распределения дискретной случайной вел-ны называют соответствие м/у возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

При табличном задании закона распределения дискретной случайной вел-ны первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая – их вероятности.

Приняв во внимание, что в одном испытании случайная вел-на принимает одно и только одно возможное значение, заключаем, что события X=x1, X=x2, …, X=xn образуют полную группу; следовательно сумма вероятностей второй строеи таблицы равна единице.

В целях наглядности закон распределения дискретной случайной вел-ны можно изобразить графически, для чего в прямоугольной с-ме координат строят точки (xi, pi), а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.
2.3 Функции от случайной величины

Пусть случайная вел-на ξ задается своим законом распределения:





Пусть g(x) – некоторая ф-ция







2.4 Мат. ожидание случайной величины

Пусть



Тогда мат. ожидание ξ:

,

если ряд сходится, т.е. если

Если ряд расходится, мат. ожидания не существует.

^ Мат. ожиданием называется среднее случайной вел-ны.

Мат. ожидание – не случайная вел-на.

Свойства мат. ожидания:

1) Мат. ожидание const-ты = const-те:



2)

3)

4) Если ξ и η – независимы, то


2.5 Дисперсия случайной величины



Дисперсия – среднее квадратичное отклонение случайной вел-ны от своего среднего.



Свойства дисперсии:

1)

2) тогда и только тогда, когда ξ = const

3)

4) ,

где Cov – коввариация



Пусть ξ и η – независимы, тогда и

2.6 Классические случайные величины

2.6.1 Биномиальное распределение (распределение Бернулли)

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из к-рых событие А может появиться, либо не появиться. Вероятность наступления события во всех испытаниях постоянна и равна p (следовательно, вероятность непоявления q = 1 – p). Рассмотрим в качестве случайной вел-ны ξ число появлений события А в этих испытаниях.

Требуется найти закон распределения вел-ны ξ. Для этого требуется определить возможные значения ξ и их вероятности.

Очевидно, событие А в n испытаниях может либо не появиться, либо появиться 1 раз, либо 2 раза, …, либо n раз. Т.о., возможные значения ξ:

ξ1 = 0, ξ2 = 1, ξ3 = 2, …, ξn+1 = n.

Остается найти вероятности этих возможных значений, для чего достаточно воспользоваться формулой Бернулли:

,

где k=0, 1, 2, …, n.

Эта формула и является аналитическим выражением искомого закона распределения.

Биномиальным называется распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли.

Напишем биномиальный закон в виде таблицы:



Математическое ожидание



Дисперсия


2.6.2 Геометрическое распределение

А – событие

P(A) = p к каждом испытании

Испытания независимы и проводятся до тех пор, пока событие А не наступило

ξ={число испытаний до появления события А}



Математическое ожидание



Дисперсия



2.6.3 Пуассоновское распределение

Случайная вел-на ξ имеет пуассоновское распределение, если принимает значения 0, 1, 2, …, n с вероятностью



где λ – параметр распределения.



^ Математическое ожидание



Дисперсия



2.7 Независимые случайные величины

Пусть случайная вел-на ξ задается:



а случайная вел-на η –



Случайные вел-ны ξ и η называются независимыми, если для любых n и k независимы явления

:



^ 3. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

3.1 Функции и плотность распределения

Ф-цией распределения называют ф-цию F(x), определяющую вероятность того, что случайная вел-на X в рез-те испытаний примет значение, меньшее x, т.е.

F(x) = P(X < x)

Геометрически это равенство можно истолковать так: F(x) есть вероятность того, что случайная вел-на примет значение, к-рае изображается на числовой оси точной, лежащей левее точки x.

Теперь можно дать более точное определение непрерывной случайной вел-ны:

Случайную вел-ну называют непрерывной, если ее ф-ция распределения есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая ф-ция с непрерывной производной.
  1   2   3

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Закон распределения вероятностей дискретной случайной вел-ны iconИмитация дискретной случайной величины с заданным законом распределения
Квазиравномерные псевдослучайные числа используются в качестве исходного материала для формирования любых вероятностных объектов....

Закон распределения вероятностей дискретной случайной вел-ны iconЗадача 1
Задача в связке из 3 ключей только один ключ подходит к двери. Ключи перебирают до тех пор, пока не отыщется подходящий ключ. Построить...

Закон распределения вероятностей дискретной случайной вел-ны iconВ кошельке лежат 5 монет по 20 коп и 10 монет по 5 коп Открывая кошелек,...
Вероятности попадания в зоны 1, 2, 3 соответственно равны 5, 3 и Построить ряд распределения для случайной суммы выбитых очков в...

Закон распределения вероятностей дискретной случайной вел-ны iconТема №23. Теория вероятностей
Предмет теории вероятностей. Случайные события, операции над событиями и отношения между ними. Пространство элементарных событий....

Закон распределения вероятностей дискретной случайной вел-ны iconЗакон больших чисел. Доказать неравенство Чебышева
Интегральная функция распределения двумерной св. Плотность распределения двумерной св

Закон распределения вероятностей дискретной случайной вел-ны iconLogic and probabilistic model of successful development of russia
Разработаны методы рандомизированной оценки вероятностей событий и распределения ресурсов по нечисловой неточной и неполной экспертной...

Закон распределения вероятностей дискретной случайной вел-ны iconЭкзаменационные билеты по дисциплине «Теория вероятностей и математическая...
Вероятность как частота события. Классическая вероятностная модель. Аксиомы теории вероятностей

Закон распределения вероятностей дискретной случайной вел-ны iconДисциплины Основы дискретной
Предмет дискретной математики (ДМ). Значение дисциплины «Основы дм» в решении современных задач в области информационных технологий....

Закон распределения вероятностей дискретной случайной вел-ны iconТеория Вероятностей Глава Случайные события. Вычисление вероятностей....
Это связанно с тем, что по своей природе все такие операций и показатели являются случайными

Закон распределения вероятностей дискретной случайной вел-ны iconЗакон распределения Бернулли. Случайная величина, распределенная...
Закон распределения Бернулли. Случайная величина, распределенная по закону Бернулли, принимает значения: 1 – «успех» или 0 – «неудача»...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
vbibl.ru
Главная страница