Методические рекомендации по самостоятельному изучению дисциплины. Методические указания по выполнению контрольной работы по математике часть 2




Скачать 196.43 Kb.
НазваниеМетодические рекомендации по самостоятельному изучению дисциплины. Методические указания по выполнению контрольной работы по математике часть 2
страница1/2
Дата публикации16.03.2013
Размер196.43 Kb.
ТипМетодические рекомендации
vbibl.ru > Математика > Методические рекомендации
  1   2
КАЛИНИНГРАДСКИЙ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ ФИЛИАЛ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА УПРАВЛЕНИЯ И ЭКОНОМИКИ

Кафедра информатики и общеобразовательных дисциплин

МАТЕМАТИКА

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО

САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО

^ ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ – ЧАСТЬ 2

( для студентов заочной формы обучения )

Для направлений

080300 «Коммерция»

080500 «Менеджмент»



Калининград

2012

СОСТАВИТЕЛЬ

Малаховская Н.Н., ст. преподаватель._________________

Методические рекомендации обсуждены на заседании кафедры информатики и общеобразовательных дисциплин «^ 22 » сентябр 2011г. протокол №1.

Заведующий кафедрой Т.П.Фунтикова. ___________________

СОДЕРЖАНИЕ


Стр.
Методические рекомендации по изучению дисциплины 3
Образцы решения задач из контрольной работы 4

Задачи для контрольной работы 21
Требования к оформлению контрольной работы 27

Список литературы 28

^ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ
Фундаментальность подготовки в области математики включает в себя достаточную общность математических понятий и конструкций, обеспечивающую широкий спектр их применимости, точность формулировок математических свойств изучаемых объектов, логическую строгость изложения математики, опирающуюся на адекватный современный математический язык.

В ходе изучения дисциплины “Математика” основное внимание уделяется изучению основных математических понятий и методов, роли и месту математики в различных сферах человеческой деятельности.

Практическая часть дисциплины предназначена для выработки у студентов логического и аналитического мышления, формирования вычислительных навыков, умения проводить приближенные расчеты, привития первичных навыков работы с наиболее популярными прикладными программами. Изучение практической части рекомендуется с обязательным выполнением предлагаемых упражнений.

^ Определители, матрицы, системы линейных уравнений

Прямоугольная таблица чисел вида



называется матрицей. Числа, из которых состоит матрица, называются ее элементами. Элементы матрицы нумеруются двумя индексами, первый из которых обозначает номер строки, а второй- номер столбца. Число строк и столбцов матрицы называется ее порядком : . Матрица, число строк и столбцов которой совпадает, называется квадратной.

Для матриц определены следующие линейные операции: сложение, умножение матрицы на число, умножение матриц.

Складываются матрицы поэлементно, поэтому можно найти сумму только матриц одинакового порядка.

При умножении матрицы на действительное число каждый элемент этой матрицы умножается на это число.

Произведением матрицы А порядка на матрицу В порядка называется матрица С порядка , каждый элемент которой представляет собой сумму произведений элементов i-той строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В : .

Следует обратить внимание, что умножить можно только те матрицы, в которых число столбцов в первой матрице равно числу строк во второй матрице. Также следует иметь в виду, что в общем случае умножение матриц не коммутативно: .

^ Рекомендуемая литература. [2] стр. 56-59, [1] стр. 263-265, [8] стр. 19-26.

Определителем квадратной матрицы А называется число detA , поставленное в соответствие этой матрице по определенному закону.

Для квадратных матриц второго порядка : .

Определители более высоких порядков можно вычислить согласно теореме:

Теорема. Определитель квадратной матрицы А порядка n равен сумме произведений элементов некоторой строки (или столбца) матрицы на их алгебраические дополнения :
,
где - алгебраическое дополнение элемента матрицы А, а - минор этого элемента, то есть определитель матрицы порядка n-1, полученной из матрицы А вычеркиванием j–го столбца и i-той строки.

Рекомендуемая литература. [2] стр. 77-83, [1] стр. 263-265, [8] стр. 27-30

Обратной матрицей к квадратной матрице А называется такая матрица , что , где - единичная матрица соответствующего порядка.

Теорема. Если , то

.

Следует обратить внимание на расположение алгебраических дополнений в обратной матрице.

Рекомендуемая литература. [2] стр. 64-66, [1] стр. 272-274, [8] стр. 41.

^ Рангом матрицы называется наибольший порядок ее отличного от нуля минора (или число линейно независимых строк или столбцов матрицы).

Минором порядка k произвольной матрицы А называется определитель, составленный из элементов матрицы А, стоящих на пересечении любых ее k строк и k столбцов.

Существуют два метода нахождения ранга матрицы: метод окаймляющих миноров (состоящий в последовательном вычислении миноров с первого порядка и до тех пор, пока это возможно, либо пока все миноры порядка k+1 не окажутся =0, тогда rangA=k), либо метод элементарных преобразований (матрица приводится к ступенчатому виду, и тогда ранг равен числу ненулевых строк матрицы).

^ Рекомендуемая литература. [2] стр. 69-71, [1] стр. 272-274, [8] стр. 31-32.

Системой m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными называется система вида



-действительные числа, называемые коэффициентами системы, а -действительные числа, называемые свободными членами.

Система называется совместной, если существует хотя бы одно ее решение, то есть если найдется такой набор чисел, что при подстановке этих чисел вместо соответствующих переменных, каждое уравнение системы обращается в тождество.

Возможны три случая:
- система не имеет решений;

- система имеет единственное решение;

- система имеет бесконечно много решений.

^ Теорема Кронекера- Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранги ее основной и расширенной матриц равны.

Основной матрицей системы называется матрица ее коэффициентов, расширенной- матрица, включающая помимо коэффициентов столбец свободных членов.

^ Рекомендуемая литература. [2] стр. 5-17, [1] стр. 268-270.

Существуют три основных метода решения СЛАУ.

1)Матричный метод, основанный на матричной записи системы . Вектор-столбец решения находится как . Ввиду громоздкости вычислений применяется в основном в теории.

2) ^ Метод Крамера, заключается в вычислении основного определителя системы и определителей , в которых i-тый столбец заменен столбцом свободных членов. Решение системы в этом случае : .

^ Рекомендуемая литература. [2] стр. 88-89.

3) Метод Гаусса, или метод последовательного исключения переменных. Система уравнений, а точнее, ее расширенная матрица путем элементарных преобразований (замена уравнений местами, умножение уравнения на число, прибавление к одному уравнению системы другого, умноженного на некоторое число) приводится к ступенчатому виду. Далее из каждого уравнения, начиная с последнего, выражается соответствующая переменная. Метод Гаусса - самый универсальный из предложенных, позволяет решать практически все системы.

^ Рекомендуемая литература. [2] стр. 89-92, [8] стр. 34-41.

Однородные системы линейных уравнений - это системы, в которых столбец свободных членов равен 0. Однородная система уравнений совместна всегда, так как она имеет нулевое решение.

Теорема. Однородная СЛУ имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее ранг меньше числа неизвестных.

Система решений называется фундаментальной, если любое решение СЛУ выражается в виде ее линейной комбинации.

^ Рекомендуемая литература. [2] стр. 93-100, [8] стр. 42-45.
Геометрия
Векторы. Линейные операции над ними. Линейно-независимые системы векторов. Базис. Координаты вектора.

Рекомендуемая литература. [1] стр. 223-226, [8] стр. 14-18.

Скалярное произведение векторов, длина вектора, угол между векторами.

^ Рекомендуемая литература. [1] стр. 231,234.

Координаты точки в пространстве. Прямая на плоскости. Взаимное расположение двух прямых. Расстояние от точки до прямой.

^ Рекомендуемая литература. [2] стр. 104-108, [1] стр. 43-49, [8] стр. 88-90.

Различные способы задания прямой и плоскости в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости пространстве, расстояние от точки до плоскости.

^ Рекомендуемая литература. [8] стр. 93-97.

Эллипс, гипербола, парабола: их канонические уравнения и свойства. Рекомендуемая литература. [8] стр. 90-93 .


^ Методические УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Для того чтобы облегчить студенту-заочнику самостоятельное выполнение контрольных работ, приведем примеры решений задач, аналогичных тем, какие предлагаются в контрольных работах.
^ Образцы решения задач из контрольной работы
Задача 1. Дана система линейных уравнений



Требуется показать, что система совместна, и найти ее решение тремя способами: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса; в) методом обратной матрицы. Выполнить проверку решения.

Решение.

Система n линейных уравнений с n неизвестными является совместной и имеет единственное решение, так как определитель системы, составленный из коэффициентов при неизвестных не равен нулю. Вычислим определитель системы методом разложения его по элементам строки. Разложим по первой строке:


Так как определитель системы не равен нулю, система уравнений совместна и имеет единственное решение.

а) Найдем решение системы по формулам Крамера

, , ,

где D1 D2 D3 - определители, которые получаются из определителя D системы путем замены в нем соответственно 1-го, 2-го, 3-го столбцов коэффициентов при неизвестных x1 x2 x3 столбцом свободных членов уравнений, стоящих в правой части данной системы. Получим следующие три определителя:





Вычислим неизвестные , , .

Проверим это решение, подставив значения неизвестных во все уравнения системы. Получим Решение верное.
б) Решим ту же систему уравнений методом Гаусса.

Для этого выпишем расширенную матрицу системы и приведем основную матрицу системы к треугольному виду или ступенчатому виду, если число уравнений окажется меньшим числа неизвестных. Приведение матрицы к треугольному виду, то есть такому, когда ниже (или выше) главной диагонали все элементы будут нулевые, а на главной диагонали - ненулевые, всегда возможно. Оно основано на следующих элементарных преобразованиях матрицы, соответствующих эквивалентным преобразованиям система:

  1. Перестановка строк матрицы;

  2. Умножение всех элементов строки на одно и то же число;

  3. Сложение элементов любой строки с соответствующими элементами любой другой строки;

4. Вычеркивание получившихся нулевых строк.

Вот решение одной системы методом последовательных исключений неизвестных:

Расширенная матрица 1-й шаг 2-шаг



Возвратимся теперь от матричной записи к системе уравнений. Из последней строки матрицы следует уравнение , откуда х3 = -3 Подставляя х3 = -3 в последнее уравнение (вторая строка расширенной матрицы) получим или . Наконец, из первого уравнения системы (первая строка матрицы) найдем . Решение такое же , как в случае (а). Оно уже проверено.

Существует модифицированный метод Гаусса, так называемый метод полного исключения неизвестных, в результате которого основная матрица системы преобразуется в каноническую матрицу, на главной диагонали которой остаются единицы, а все остальные элементы обращаются в нули. Таким образом сразу получается решение.

В основе этого метода лежит следующий алгоритм (строго определенный порядок действий)

  1. Выберем разрешающую строку и в ней разрешающий элемент. Обычно это первый элемент первой строки, считая слева направо. Строки можно целиком переставлять, так что на первое место можно записать любую строку, в которой первый элемент не равен нулю.

  2. Каждый элемент, разрешающий строки разделим на разрешающий элемент.

  3. Элементы разрешающего столбца заменим нулями во всех строках матрицы, кроме разрешающей, в которой будет единица.

  4. Элементы столбцов, Которые были разрешающими на предыдущих шагах исключения, переписываем без изменения.

  5. Остальные элементы пересчитаем по следующему правилу «прямоугольника»:



Р D2

D1 П

Где П – пересчитываемый элемент, Р – Разрешающий, D1 и D2 – “диагональные”, И – искомый. Все эти элементы каждый раз должны быть вершинами воображаемого прямоугольника, образованного параллельными строками и столбцами. Искомый элемент записываем на месте пересчитываемого.

Вернемся к расширенной матрице данной системы и выполним эквивалентной преобразования по предложенной выше схеме полного исключения неизвестных. Рекомендуем читателю все пересчеты коэффициентов по правилу «четырехугольника» записывать подробно.

Данная расширенная матрица 1-й шаг 2-й шаг


3 - й шаг 4 – й шаг



Если в последней матрице вернуться к записи уравнений, то получим

, , , а это и есть решение данной системы.

Замечания: 1. Кружками обведены разрешающие элементы.

2. При переходе от 2-го шага к 3-му третью строку почленно разделили на 90/7.

в) Решить данную систему методом обратной матрицы.

Решение. Данную систему можно записать в матричном виде АХ = В,

где , ,

Решение матричного уравнения имеет вид Х = А-1 В = N, где А-1 – матрица, обратная матрицы А. Так как определитель матрицы системы D(A) = 180 отличен от нуля то матрица А имеет обратную. Для вычисления обратной матрицы воспользуемся формулой

Где А11, А12, …, А33 – алгебраические дополнения элементов а11, а12, …, а33 матрицы А. Вычислим алгебраические дополнения всех элементов матрицы А:
; ; ;
; ;
; ; .
Составим обратную матрицу

.

Найдем теперь матрицу Х.


Из равенства матриц Х = N или следует решение системы

х1=2, х2 = 1, х3 = -3.

Задача 2. Методом исключения неизвестных найти общее

решение системы линейных уравнений .

Решение.

Это система двух уравнений с тремя неизвестными. Она совместна и неопределенна. Надо найти совокупность всех ее решений. В качестве базисных неизвестных данной системы можно взять те неизвестные, для которых определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, не равен нулю. Здесь три таких определителя, один из которых равен нулю . Следовательно, неизвестные х1 и х2 нельзя брать в качестве базисных. Примем за базисные неизвестные х1 и х2 , для которых определитель . Будем считать неизвестную х3 свободной и запишем систему в виде

Или в матричной форме . Воспользуемся методом полного исключения неизвестных:

Общее решение:

Полагая в общем решении х3 = 0, получим базисное решение х1 = ,

Проверка базисного решения показывает, что оно удовлетворяет обоим уравнениям системы, то есть, является частным решением системы. Давая х3 любые другие числовые значения, получим бесчисленное множество частных решений.

Задача 3. Даны матрицы и . Найти

произведение матриц АВ.

Решение.

Умножение двух матриц возможно только тогда, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Эти матрицы называются соответственными. Для матриц А и В число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В: их размеры и . В результате умножения матриц получим новую матрицу С размера , а ее элементы будут равны скалярным произведениям векторов-строк первой матрицы на векторы-столбцы второй:



Задача 4. Даны вершины треугольника А(-3;-2), В(1;8), С(5;3).

Найти: а) уравнения всех трех его сторон; б) систему неравенств, определяющих множество точек, принадлежащих треугольнику, включая его стороны; в) внутренний угол А треугольника в градусах и минусах; г) длину высоты, опущенной из вершины А; д) площадь треугольника.

Решение.

а) Уравнения сторон найдем по формуле прямой, проходящей через две данные точки

Уравнение стороны АВ: , или

Уравнение стороны АС: или

Аналогично находим уравнение стороны ВС.

б) Каждая из прямых АВ, АС, ВС разделяет плоскость на две полуплоскости, определяемые соответствующими неравенствами.

Чтобы определить знаки этих неравенств, возьмем координаты какой-нибудь точки расположенной внутри треугольника АВС (см. рисунок 1). Такой точкой является, например точка N (0;1). Подставляя координаты этой точки в уравнения сторон треугольника АВС

получим следующую систему неравенств.

определяющих множество внутренних точек треугольника АВС.

Система неравенств определяет множество точек, принадлежащих треугольнику АВС, включая его стороны.

в) Внутренний угол треугольника найдем, зная угловые коэффициенты сторон АВ и АС, образующих этот угол, по формуле .

Угловые коэффициенты прямых найдем по формуле .

Получим ; .

Тогда

. Угол определяем с помощью таблицы тангенсов или калькулятора

г) Длину высоты ADBC (рис. 1) найдем как расстояние от данной точки А(-3;-2) до данной прямой ВС: 5х + 4у – 37 = 0 по формуле

, где А, В, С – коэффициенты прямой, - координаты данной точки.

Получим (лин. ед.)
д) Площадь треугольника можно вычислить несколькими способами.
  1   2

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Методические рекомендации по самостоятельному изучению дисциплины. Методические указания по выполнению контрольной работы по математике часть 2 iconМетодические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольной...
Методические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольной работы и аудиторной работы на пэвм одобрены на заседании Научно-методического...

Методические рекомендации по самостоятельному изучению дисциплины. Методические указания по выполнению контрольной работы по математике часть 2 iconМетодические указания к изучению дисциплины и выполнению контрольной...
Приложение Содержание дисциплины (Извлечение из рабочей программы дисциплины)

Методические рекомендации по самостоятельному изучению дисциплины. Методические указания по выполнению контрольной работы по математике часть 2 iconМетодические указания по выполнению контрольной работы Для студентов III курса специальностей
Методические указания по выполнению контрольной работы обсуждены на заседании кафедры бухгалтерского учета и анализа хозяйственной...

Методические рекомендации по самостоятельному изучению дисциплины. Методические указания по выполнению контрольной работы по математике часть 2 iconМетодические указания к изучению дисциплины и выполнению контрольной...
...

Методические рекомендации по самостоятельному изучению дисциплины. Методические указания по выполнению контрольной работы по математике часть 2 iconМетодические указания к изучению дисциплины и выполнению контрольной...
Контрольные задания

Методические рекомендации по самостоятельному изучению дисциплины. Методические указания по выполнению контрольной работы по математике часть 2 iconУчебное пособие рассмотрено и рекомендовано к публикации на заседании...
Учебное пособие включает: теоретический материал, практикум, содержащий примеры решения типовых задач, методические указания по самостоятельному...

Методические рекомендации по самостоятельному изучению дисциплины. Методические указания по выполнению контрольной работы по математике часть 2 iconМетодические рекомендации по выполнению контрольной работы Содержание контрольной работы
Методические рекомендации предназначены для студентов специальности: 080507. 65 " Менеджмент организации" заочной формы обучения,...

Методические рекомендации по самостоятельному изучению дисциплины. Методические указания по выполнению контрольной работы по математике часть 2 iconМетодические указания по выполнению расчетных заданий и по анализу их результатов приложения
Методические указания разработаны в соответствии с рабочей программой дисциплины «Экология» для студентов-заочников специальности...

Методические рекомендации по самостоятельному изучению дисциплины. Методические указания по выполнению контрольной работы по математике часть 2 iconМетодические указания к изучению дисциплины и выполнению контрольной...
Одной из составляющих развития и совершенствования экономических процессов является автомобильный транспорт, с помощью которого производится...

Методические рекомендации по самостоятельному изучению дисциплины. Методические указания по выполнению контрольной работы по математике часть 2 iconМетодические указания по выполнению контрольной работы для студентов...
Методические указания предназначены для самостоятельной работы студентов 4 и 5-го курсов заочной формы обучения всех специальностей...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
vbibl.ru
Главная страница