Методическое пособие по выполнению практических работ по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»




НазваниеМетодическое пособие по выполнению практических работ по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»
страница9/10
Дата публикации16.03.2013
Размер0.72 Mb.
ТипМетодическое пособие
vbibl.ru > Информатика > Методическое пособие
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10
^

Практическая работа №11 «Построение графических изображений выборок и эмпирических функций распределения».


Для наглядного представления статистического распределения пользуются графическим изображением вариационных рядов (полигоном, гистограммой и куммулятой).

В случае дискретного распределения на оси абсцисс откладывают отдельные значения признака. Из принимаемых значений xi проводят перпендикуляры, длины которых пропорциональны частотам mi, затем концы соседних перпендикуляров соединяют отрезками прямых. Это полигон для дискретных вариационных рядов.

Пример. На телефонной станции проводились наблюдения над числом Х неправильных соединений в минуту. Наблюдения в течение часа дали следующие результаты:

Число в мин (xi)

0

1

2

3

4

5

7




Частоты (mi)

8

17

16

10

6

2

1

=60




Гистограмма строится только для интервального вариационного ряда (группированной выборки). На каждом из интервалов значений как на основании, строят прямоугольник с высотой, пропорциональной mi. Если середины верхних сторон прямоугольников соединить отрезками прямых, а концы этой ломаной ещё соединить с серединами соседних интервалов, частоты которых равны 0, а длина равна длине соседнего интервала, то получим полигон интервального ряда.

Пример.

Выработка продавцов

Число продавцов

В процентах к итогу

Кумулятивная (накопленная) численность

Накопленная относительная частота

80-100

5

10

5

0,1

100-120

10

20

15 (5+10)

0,3

120-140

20

40

35 (15+20)

0,7

140-160

10

20

45 (35+10)

0,9

160-180

5

10

50 (45+5)

1

итого

50

100









Кумулята – график накопленных частот, сглаженное графическое изображение эмпирической функции распределения. При построении кумуляты в точке, соответствующей принимаемому значению, для дискретного ряда и в правом конце интервала для интервального ряда строится перпендикуляр, высота которого пропорциональна накопленной частоте, затем верхние концы перпендикуляров соединяются между собой с помощью прямолинейных отрезков.

«Накопленные частоты» - это и есть значения эмпирической функции распределения, а кумулята – её сглаженное графическое изображение.


^

Практическая работа №12 «Вычисление выборочных средней и дисперсии».


Пусть x1, x2, …, xn – данные наблюдений над случайной величиной X. Средним арифметическим наблюдаемых значений случайной величины X называется частное от деления суммы всех этих значений на их число:

(1).

Если данные наблюдений представлены в виде дискретного ряда, где x1, x2, …, xn – наблюдаемые варианты, а m1, m2, …, mn – соответствующие им частоты, причём , то, по определению,

(2).

Вычисленное по данной формуле среднее арифметическое называется взвешенным, так как частоты mi называются весами, а операция умножения xi на mi – взвешиванием.

Для интервального вариационного ряда за xi принимают середину i-го интервала, а за mi - соответствующую интервальную частоту:

(3).

Основные свойства среднего арифметического:

  1. Среднее арифметическое алгебраической суммы соответствующих друг другу значений равна алгебраической сумме средних арифметических:

.

  1. Если ряд наблюдений состоит из двух непересекающихся групп наблюдений, то среднее арифметическое всего ряда наблюдений равно взвешенному среднему арифметическому групповых средних, причём весами являются объёмы соответствующих групп:

.

  1. Среднее арифметическое постоянной равно самой постоянной:



  1. Постоянную можно выносить за знак среднего арифметического:



  1. Сумма отклонений результатов наблюдений от их среднего арифметического равна нулю:



  1. Если все результаты наблюдений увеличить (уменьшить) на одно и то же число, то среднее арифметическое увеличится (уменьшится) на то же число:



  1. Если все частоты вариантов умножить на одно и то же число, то среднее арифметическое не изменится.


Выборочной дисперсией значений случайной величины X называется средне арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых значений этой величины от их среднего арифметического:

(4).

Если данные наблюдений представлены в виде дискретного ряда, где x1, x2, …, xn – наблюдаемые варианты, а m1, m2, …, mn – соответствующие им частоты, причём , то выборочная дисперсия определяется формулой:

(5).

Используя равенство , последнюю формулу можно представить в виде:

(6).

Дисперсия, вычисленная по формулам 5 и 6, называется взвешенной выборочной дисперсией.
Основные свойства выборочной дисперсии:

  1. Дисперсия постоянной равна нулю:



  1. Если все результаты наблюдений увеличить (уменьшить) на одно и то же число С, то дисперсия не изменится: .

  2. Если все результаты наблюдений умножить на одно и то же число С, то имеет место равенство:

.

  1. Если все частоты вариантов умножить на одно и то же число, то выборочная дисперсия не изменится.

  2. Выборочная дисперсия равна разности между средним арифметическим квадратов наблюдений над случайной величиной X и квадратом её среднего арифметического:


Пример 1. По данным, приведённым в таблице, вычислить среднее арифметическое и дисперсию числа неправильных соединений в минуту.


Индекс

i

1

2

3

4

5

6

7

Число неправильных соединений в минуту

xi

0

1

2

3

4

5

7

Частота

mi

8

17

16

10

6

2

1

частость



8/60

17/60

16/60

10/60

6/60

2/60

1/60


Решение. Среднее арифметическое вычислим по формуле 2:



Дисперсию вычисляем по формуле 5:



Пример 2. По данным, приведённым в таблице, вычислить среднее арифметическое и дисперсию диаметра валика.


Решение. Среднее арифметическое вычислим по формуле 3:



Дисперсию вычисляем по формуле 6:


^

Практическая работа №13 «Решение задач на доверительный интервал».



Если в процессе эксперимента для статистики получено некоторое значение, то значит оно принадлежит области I, вероятность которой близка к 1. Эту вероятность называют доверительной вероятностью. Её обозначают . По ней строят интервал, накрывающий значение оцениваемого параметра с вероятностью . Его и называют доверительным интервалом с уровнем доверия . Область I и доверительный интервал по ней строятся в соответствии с распределением вероятностей используемой статистики.

Величина уровня доверия влияет на величину интервала: чем больше уровень доверия, тем шире интервал. Уровень доверия выбирается из соображений допустимого риска.

Формула для доверительного интервала для математического ожидания  нормального распределения с уровнем доверия  для случая, когда известно среднеквадратическое отклонение распределения :

(1)

Формула для доверительного интервала для математического ожидания  нормального распределения с уровнем доверия  для случая, когда среднеквадратическое отклонение распределения  неизвестно:

(2)

Пример. Для проверки фасовочной установки были отобраны и взвешены 20 упаковок. Получены следующие результаты (в граммах):

246

247

247,3

247,4

251,7

252,5

252,6

252,8

252,8

252,9

253

253,6

254,6

254,7

254,8

256,1

256,3

256,8

257,4

259,2

Найти доверительный интервал для математического ожидания с надёжностью 0,95, предполагая, что измеряемая величина распределена нормально.

Решение. Находим точечные оценки a и :





Определяем по таблице распределения Стьюдента для доверительной вероятности =0,95 и числу степеней свободы (n-1)=19 соответствующее значение t=2,093 и по формуле находим искомый интервал:


или 251,27 а 254,69.
^

Практическая работа №14 «Расчёт сводных характеристик выборки методом произведений».



Признак – это основная отличительная черта, особенность изучаемого явления или процесса. Количественное представление признака называется показателем.

Результативный признак – исследуемый показатель процесса, характеризующий эффективность процесса.

Факторный признак – показатель, влияющий на значение результативного показателя.

Целью регрессионного анализа является оценка функциональной зависимости условного среднего значения результативного признака (Y) от факторных (x1, x2, …, xn), выражаемой в виде уравнения регрессии:

Y = f(x1, x2, …, xn).

Для характеристики связей между признаками используют следующие типы функций:

- линейную ;

- гиперболическую ;

- показательную ;

- параболическую ;

- степенную .

Линейная функция используется в случае, если результативный и факторный признаки возрастают одинаково, примерно в арифметической прогрессии, гиперболическая – если связь между Y и x, наоборот, обратная. Параболическая или степенная функция применяются, если факторный признак увеличивается в арифметической прогрессии, а результативный значительно быстрее.

Линейная однофакторная регрессия: . Для нахождения параметров a0 и а1 используют метод наименьших квадратов. Сущность метода заключается в нахождении параметров a0 и а1, при которых минимизируется сумма квадратов отклонений эмпирических значений результативного признака от теоретических, полученных по выбранному уравнению регрессии. Величину параметров a0 и а1 находим как решение системы нормальных уравнений:

, где n – объём исследуемой совокупности.

В уравнении регрессии свободный член регрессии коэффициент a0 показывает совокупное влияние на результативный признак неучтённых (не выделенных для исследования) факторов; его вклад в значение результирующего показателя не зависит от изменения факторов; параметр а1 – коэффициент регрессии – показывает, на сколько изменяется в среднем значение результативного признака при увеличении факторного на единицу собственного измерения.

Пример. По следующим данным, полагая, что зависимость между x и Y линейная, определить значения коэффициентов a0 и а1:

х

1

4

7

11

15

17

22

Y

3

6

10

14

18

24

30


Решение. Для определения величин a0 и а1 необходимо вычислить следующие значения: х, Y, xY, х2. Расчёты рекомендуется проводить в Excel и оформлять в виде таблицы:

№ п/п

х

Y

х2

xY



1

1

3

1

3

2,07

2

4

6

16

24

5,92

3

7

10

49

70

9,77

4

11

14

121

154

14,91

5

15

18

225

270

20,05

6

17

24

289

408

22,61

7

22

30

484

660

29,03

Итого

77

105

1185

1589

104,36

Система нормальных уравнений имеет вид:



Решив данную систему методом Гаусса, получаем значения: a0=0,876, а1=1,284. Следовательно, =0,876+1,284х. Т.к. а1>0, связь между признаками прямая (в случае обратной связи коэффициент регрессии отрицательный). При увеличении х на единицу, - увеличивается на 1,284. Линейную модель удобно представлять графически:


^

Практическая работа №15 «Расчёт сводных характеристик выборки методом сумм».



Однофакторная параболическая модель второй степени - параболическая регрессия применяется, если факторный признак увеличивается в арифметической прогрессии, а результативный значительно быстрее. В этом случае уравнение регрессии будет иметь вид:

;

В данном случае задача сводится к определению неизвестных параметров: а0, а1,. Величину параметров a0, а1 и а2 находим как решение системы нормальных уравнений:

,

Пример. По следующим данным, полагая, что зависимость между x и Y параболическая, определить значения коэффициентов a0, а1 и а2:

х

1

2

3

4

5

7

10

14

17

23

Y

1

3

6

7

8

11

16

21

27

39


Решение. Для определения величин a0, а1 и а2 необходимо вычислить следующие значения: х, Y, xY, х2, х3, x4, х2Y. Расчёты рекомендуется проводить в Excel и оформлять в виде таблицы:


№ п/п

х

Y

xY

х2

х2Y

х3

x4



= Y -

1

1

1

1

1

1

1

1

2,098

-1,098

2

2

3

6

4

12

8

16

3,488

-0,488

3

3

6

18

9

54

27

81

4,903

1,097

4

4

7

28

16

102

64

256

6,344

0,656

5

5

8

40

25

200

125

725

7,809

0,191

6

7

11

77

49

539

343

2401

10,815

0,185

7

10

16

160

100

1600

1000

10000

15,51

0,49

8

14

21

294

196

4116

2744

38416

22,13

-1,13

9

17

27

459

289

7803

4913

83521

27,36

-0,36

10

23

39

897

529

20631

12167

279841

38,5

0,5

Итого

86

139

1980

1218

35058

21392

415258








Система нормальных уравнений имеет вид:



Решив данную систему методом Гаусса, получаем значения: a0=0,734, а1=1,352, а2=0,0126. Следовательно, уравнение регрессии имеет вид: =0,734+1,352х+0,0126х2. Из таблицы видно, что вычисленные по уравнению регрессии значения незначительно отличаются от эмпирических данных.

Оценка обратной зависимости между Y и x, может быть дана на основе уравнения гиперболы:

Величину параметров a0 и а1 находим как решение системы нормальных уравнений:

,

Пример. По следующим данным, полагая, что зависимость между x и Y выражается уравнением гиперболы, определить значения коэффициентов a0 и а1:

х

1

3

4

6

7

9

10

Y

14

11

11

9

8

7

5


Решение. Для определения величин a0 и а1 расчёты рекомендуется проводить в Excel и оформлять в виде таблицы:

№ п/п

х

Y

1/х

Y/х

1/х2



i

1

1

14

1

14

1

9,73

4,27

2

3

11

0,33

3,67

0,11

9,26

1,74

3

4

11

0,25

2,75

0,062

9,20

1,80

4

6

9

0,67

1,5

0,028

9,13

-0,13

5

7

8

0,14

1,14

0,02

9,12

-1,12

6

9

7

0,11

0,78

0,012

9,10

-2,1

7

10

5

0,10

0,5

0,01

9,09

-4,09

Итого

40

65

2,6

24,34

1,242

64,63





Система нормальных уравнений имеет вид:



Решив данную систему методом Гаусса, получаем значения: a0=9,02, а1=0,71. Следовательно, уравнение регрессии имеет вид: =9,02+0,71/х.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

Похожие:

Методическое пособие по выполнению практических работ по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» iconЭкзаменационные билеты по дисциплине «Теория вероятностей и математическая...
Вероятность как частота события. Классическая вероятностная модель. Аксиомы теории вероятностей

Методическое пособие по выполнению практических работ по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» iconМетодические указания к выполнению лабораторных работ 1-3 по дисциплине...
Целью работы является теоретическое изучение основных логических функций и эквивалентностей исчисления высказываний и приобретение...

Методическое пособие по выполнению практических работ по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» iconРасчетное задание по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика»
...

Методическое пособие по выполнению практических работ по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» iconКонтрольная работа №3 по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»
В магазине продаются восемь компьютеров, три из них имеют дефект. Какова вероятность того, что покупатель купит компьютер, если для...

Методическое пособие по выполнению практических работ по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» icon]Дипломные работы на заказ[/url]
Заказать выполнение курсовой работы по предметам: Лингвистика, Компьютерная графика, Гражданское право, Международное право, твимс...

Методическое пособие по выполнению практических работ по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» iconПособие по подготовке к экзамену и выполнению контрольных работ по...
Тема Статистическое наблюдение: формы, виды и способы статистического наблюдения

Методическое пособие по выполнению практических работ по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» iconУстройство автомобиля часть 2 системы питания двигателей учебно-методическое пособие
Учебно-методическое пособие предназначено для студентов дневного и заочного отделений технолого-экономического факультета нгпу, обучающихся...

Методическое пособие по выполнению практических работ по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» iconУстройство автомобиля часть 3 электрооборудование автомобиля учебно-методическое пособие
Учебно-методическое пособие предназначено для студентов дневного и заочного отделений технолого-экономического факультета нгпу, обучающихся...

Методическое пособие по выполнению практических работ по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» iconУчебно-методическое пособие предназначено для проведения практических...
Учебно-методическое пособие предназначено для проведения практических занятий по дисциплине «Английский язык по специальности», соответствует...

Методическое пособие по выполнению практических работ по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» iconАвтономная некомерческая организация высшее учебное заведение «институт...
Методические рекомендации по выполнению курсовых и дипломных работ»: Учебно – методическое пособие / ано вуз «Институт менеджмента,...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
vbibl.ru
Главная страница